Question

Calcule as seguintes integrais utilizando o método de substituição

Answer 1

Resposta:

a)

u=4+x² ==> du=2x dx

∫ x *u¹⁰*du/(2x)

(1/2)*∫ u¹⁰  du

= u¹¹/22 + constante

=(4+x²)/¹¹22 + constante

b)

u=1+2x ==>du=2dx

4 ∫ 1/u³  * du/2

2 ∫ 1/u³  * du

2 * [u^(-2)]/(-2) + constante

-1/u² + constante

-1/(1+2x)² + constante

c)

u= sen x  ==> du cos x * dx  

∫ cos x * u⁶ du/cos x

∫  u⁶ du= (u⁷)/7 + constante

= (sen⁷x)/7 + constante

Answer 2

a) Considere-se a mudança de variável $u = 4+x^2$. Tem-se o diferencial $\textrm{d}u = 2x\textrm{ d}x$. Multiplicando e dividindo por 2 e aplicando a mudança de variável, tem-se:

$\displaystyle\int x(4+x^2)^{10}\textrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\int \underbrace{(4+x^2)^{10}}_{=u^{10}}\underbrace{2x\textrm{ d}x}_{=\textrm{d}u} = \dfrac{1}{2}\int u^{10}\textrm{ d}u.$

Basta agora calcular este integral mais simples e desfazer a mudança de variável, obtendo:

$\displaystyle \dfrac{1}{2}\int u^{10}\textrm{ d}u = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{u^{11}}{11} +C = \dfrac{u^{11}}{22} +C = \dfrac{(4+x^2)^{11}}{22} + C.$

b) Considere-se a mudança de variável $u= 1+2x$. Tem-se o diferencial $\textrm{d}u = 2\textrm{ d}x$. Vem então:

$\displaystyle\int\dfrac{4}{(1+2x)^3}\textrm{ d}x = 2\int\dfrac{1}{\underbrace{(1+2x)^3}_{=u^3}}\underbrace{2\textrm{ d}x}_{=\textrm{d}u} = 2\int\dfrac{\textrm{d}u}{u^3} = 2\int u^{-3}\textrm{ d}u.$

Basta agora calcular este integral mais simples e desfazer a mudança de variável, obtendo:

$\displaystyle2\int u^{-3}\textrm{ d}u = 2\times\dfrac{u^{-2}}{-2} + C=-\dfrac{1}{u^2} +C= -\dfrac{1}{(1+2x)^2} + C.$

c) Considere-se a mudança de variável $u = \sin x$. Tem-se o diferencial $\textrm{d}u = \cos x \textrm{ d}x$. Vem então:

$\displaystyle \int \cos x \sin^6 x\textrm{ d}x = \int \underbrace{\sin^6 x}_{=u^6} \underbrace{\cos x\textrm{ d}x}_{=\textrm{d}u}= \int u^6\textrm{ d}u.$

Basta agora calcular este integral mais simples e desfazer a mudança de variável, obtendo:

$\displaystyle \int u^6\textrm{ d}u = \dfrac{u^7}{7} + C= \dfrac{\sin^7 x}{7}+C.$