Question

Calcule as seguintes integrais usando método de substituição por partes.

Answer 1

O método de integração por partes baseia-se na derivada do produto:

$\displaystyle (fg)' = f'g + fg' \implies \underbrace{\int (fg)'}_{=fg} = \int f'g + \int fg' \implies \int f'g = fg - \int fg'.$

No primeiro integral, tomemos:

$f'(x) = \sin x \implies f(x) = -\cos x.$

$g(x) = x \implies g'(x) = 1.$

Assim podemos escrever:

$\displaystyle\int x\sin x\textrm{ d}x = \int f'(x)g(x)\textrm{ d}x = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\textrm{ d}x.$

Assim, vem:

$\displaystyle\int\limits_0^\pi x\sin x\textrm{ d}x = -x\cos x\Big\vert_0^\pi - \int\limits_0^\pi (-\cos x)\textrm{ d}x= -\pi\underbrace{\cos\pi}_{=-1} + 0 \times \cos 0 + \int\limits_0^\pi \cos x\textrm{ d}x.$

Por fim:

$\displaystyle\int\limits_0^\pi x\sin x\textrm{ d}x =  \pi + \sin x\Big\vert_0^\pi = \pi + \underbrace{\sin \pi}_{=0} - \underbrace{\sin 0}_{=0} = \pi.$

Para o 2.º integral, temos de utilizar um "truque": consideramos que o logaritmo está a ser multiplicado por $1$, que será o nosso $f'(x)$:

$f'(x) = 1 \implies f(x) =x.$

$g(x) = \ln x \implies g'(x) = \dfrac{1}{x}.$

Assim, podemos fazer como antes:

$\displaystyle\int 1\ln x\textrm{ d}x = \int f'(x)g(x)\textrm{ d}x = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\textrm{ d}x.$

Substituindo, obtemos:

$\displaystyle\int\limits_1^\textrm{e} \ln x \textrm{ d}x = x\ln x\Big\vert_1^\textrm{e} - \int\limits_1^\textrm{e} x \times \dfrac{1}{x}\textrm{ d}x = \textrm{e}\underbrace{\ln\textrm{e}}_{=1} - 1\underbrace{\ln1}_{=0} - \int\limits_1^\textrm{e}\textrm{d}x = \textrm{e} - x\Big\vert_1^\textrm{e} = \\\\=\textrm{e} - (\textrm{e}-1) =\textrm{e}-\textrm{e}+1 = 1.$