Question

Calcule as medidas dos lados de um triângulo sabendo que elas são números inteiros consecutivos e que o ângulo maior é igual ao dobro do ângulo menor:

( Gabarito: 4, 5 e 6 )

#Cálculo e explicação

Answer 1

Seja x a medida do menor lado do triângulo, assim x+1 e x+2 são as medidas dos outros dois lados maiores.

*Sabemos que o maior lado está oposto ao maior ângulo, e que o ângulo oposto ao lado médio mede 180 - 3* o ângulo menor pela propriedade das somas dos ângulos em um triângulo.

Aplicando a lei dos senos temos:

$\frac{x}{sin(\theta)}=\frac{x+1}{sin(180-3\theta)}=\frac{x+2}{sin(2\theta)}\\\\\frac{x}{sin(\theta)}=\frac{x+1}{sin(3\theta)}=\frac{x+2}{sin(2\theta)}\\\\\\\frac{x}{sin(\theta)}=\frac{x+2}{sin(2\theta)}\\\\\frac{x}{sin(\theta)}=\frac{x+2}{2sin(\theta)cos(\theta)}\\\\x=\frac{x+2}{2cos(\theta)}\\\\cos(\theta)=\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\\\\\\\frac{x}{sin(\theta)}=\frac{x+1}{sin(3\theta)}\\\\\frac{x}{\sqrt{1-cos^2(\theta)}}=\frac{x+1}{sin(2\theta+\theta)}$

Veja que uma igualdade entre 3 valores é o mesmo que um sistema de 2 equações. Como temos apenas duas variáveis, podemos encontrar cada uma delas por substituição.

$\frac{x}{\sqrt{1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{x})^2}}=\frac{x+1}{sin(2\theta)cos(\theta)+sin(\theta)cos(2\theta)}\\\\\frac{x}{sin(\theta)}=\frac{x+1}{2sin(\theta)cos^2(\theta)+sin(\theta)(cos^2(\theta)-sin^2(\theta))}\\\\x=\frac{x+1}{2cos^2(\theta)+cos^2(\theta)-sin^2(\theta)}\\\\x=\frac{x+1}{3cos^2(\theta)+1-sin^2(\theta)-1}\\\\x=\frac{x+1}{4cos^2(\theta)-1}\\\\x=\frac{x+1}{4(\frac{1}{2}+\frac{1}{x})^2-1}$

$x=\frac{x+1}{4(\frac{1}{4}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})-1}\\\\x=\frac{x+1}{4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}\\\\4x=\frac{x+1}{\frac{x+1}{x^2}}\\\\4x=x^2$

Como o menor lado não pode medir 0 unidades, então a resposta correta é:

$\boxed{x=4\implies lados: (4,5,6)}$