Question

Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: a)f(x,y)=x^4 + xy^3/3
b)f(x,y)=2x^3e^5y

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular as derivadas parciais das seguintes funções:

a) $f(x,~y)=x^4+\dfrac{xy^3}{3}$

b) $f(x,~y)=2x^3e^{5y}$

Calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem destas funções: $f_x$ e $f_y$.

Em a), temos:

$f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^4+\dfrac{xy^3}{3}\right)\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x^4+\dfrac{xy^3}{3}\right)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que $\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x)+g(x))=\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))+\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))$ e $\dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))$.
• A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante delas como constantes.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• Consoante com as regras acima, a derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma função composta é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{\partial}{\partial x}(f(g(x)))=\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função exponencial $e^x$ é a própria função exponencial.

Aplique a linearidade

$f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^4)+\dfrac{y^3}{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^4)+\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y^3)$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$f_x=4\cdot x^{4-1}+\dfrac{y^3}{3}\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\ \boxed{f_x=4x^3+\dfrac{y^3}{3}}\\\\\\ f_y=0+x\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot y^{3-1}\\\\\\ \boxed{f_y=xy^2}$

Em b), temos:

$f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3e^{5y})\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3e^{5y})$

Aplique a linearidade

$f_x=2e^{5y}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3)\\\\\\ f_y=2x^3\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(e^{5y})$

Aplique a regra da potência e da cadeia

$f_x=2e^{5y}\cdot3\cdot x^{3-1}\\\\\\ f_y=2x^3\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(5y)\cdot e^{5y}\\\\\\ \Rightarrow f_y=2x^3\cdot5\cdot 1\cdot y^{1-1}\cdot e^{5y}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$f_x=2e^{5y}\cdot3\cdot x^{2}\\\\\\ \boxed{f_x=6x^2e^{5y}}\\\\\\ f_y=2x^3\cdot5\cdot 1\cdot y^{0}\cdot e^{5y}\\\\\\ \boxed{f_x=10x^3e^{5y}}$

Estas são as derivadas parciais destas funções.