Question

Calcule as derivadas parciais das funções a seguir

Answer 1

Respostas:

$a)\;\;\;\;\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=2x+y\;\;\;e\;\;\;\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=x+2y$

$b)\;\;\;\;\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=9x^2\;\;\;e\;\;\;\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=20y^3$

$c)\;\;\;\;\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\;\;e\;\;\;\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Resolução:

Enquanto uma função de uma variável apresenta, no máximo, uma derivada, funções com várias variáveis apresentam várias derivadas, uma para cada variável - as derivadas parciais de uma função.

Para calcular a derivada parcial de uma função quanto a uma variável, simplesmente tomamos todas as restantes variáveis como se se tratassem de constantes e aplicamos as regras normais de derivação.

Comecemos por relembrar as regras de derivação básicas que devemos ter sempre na nossa mente:

Para  $a,b\in\mathbb{R}$  temos que:

$a'=0$

$\left(ax^b\right)'=a\times b\times x^{b-1}$

$\left(u+v\right)'=u'+v'$

$\left(u\times v\right)'=u'\times v+u\times v'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}$

$\left(u^a\right)'=a\times u^{a-1}\times u'$

$\left(e^u\right)'=u'\times e^u$

$\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$

$\left(\log_a u\right)'=\dfrac{u'}{u\times\ln a}$

$\left(\sin u\right)'=u'\times\cos u$

$\left(\cos u\right)'=-u'\times\sin u$

$\left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$

Com estas regras em mente, passemos à resolução do exercício.

a)

    $\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\;(x^2+xy+y^2)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=2x+y+0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=2x+y$

    $\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\;(x^2+xy+y^2)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=0+x+2y\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=x+2y$

b)

    $\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\;(3x^3+5y^4)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=9x^2+0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=9x^2$

    $\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\;(3x^3+5y^4)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=0+20y^3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=20y^3$

c)

    $\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\;(\sqrt{x^2+y^2})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\;(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}-1}(2x+0)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\times2x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\times2x}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^{-1}\times x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x}\;f(x,y)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

    $\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\;(\sqrt{x^2+y^2})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\;(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}-1}(0+2y)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\times2y\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\times2y}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\times y\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^{-1}\times y\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial y}\;f(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

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