Question

Calcule as derivadas parciais

Answer 1

Resposta:

a)

fx (x, y) = 6xy - 6x

fy (x, y) = 3x² + 3y² - 6y

b)

fx (x,y) = $\frac{x}{(x^{2} + y^{2})}$

fy (x,y) = $\frac{y}{(x^{2} + y^{2})}$

c)

fx (x,y) =  $e^{x}$y + $e^{y}$

fy (x,y) =  $e^{x}$ + x$e^{y}$

Explicação passo-a-passo:

Quando calculamos derivadas parciais, as fazemos para funções que tem mais de uma variável. Nós iremos derivar a função em relação a uma das variáveis e considerar as demais constantes. Por isso, as chamamos de parciais.

a)

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x. Ou seja, vamos derivar só x, e considerar y como constante.

Obs: vou usar a notação fx (x, y) para a derivada parcial de x.

lembre: derivada de constante = 0. os termos que só tiverem y e estiverem somando zeram.

Temos:

fx (x, y) = 3 * 2 xy + 0 + - 2 * 3x - 0 + 0

fx (x, y) = 6xy - 6x

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação y. Ou seja, a gente deriva só y, e consideramos x como constante.

Obs: vou usar a notação fy (x, y) para a derivada parcial de x.

lembre: derivada de constante = 0. os termos que só tiverem x e estiverem somando zeram.

fy (x,y) = 3x² * 1 + 3y² - 0 - 6y + 0

fy (x, y) = 3x² + 3y² - 6y

b) Lembre que a derivada de Lnx = 1 / x. Nesse caso, precisaremos utilizar a regra da cadeia:

f(x) = ln (argumento)

f'(x) = 1 / (argumento) * (argumento)'

Vamos dar uma arrumadinha na nossa função:

f (x,y) = Ln (x² + y²)$^{\frac{1}{2} }$

Bom, primeiramente, vamos calcular a derivada parcial em relação a x:

fx(x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$ * [ (x² + y²)$^{\frac{1}{2} }$]'

fx(x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  * $\frac{1}{2}$ * 2x * (x² + y²)$^{\frac{1}{2} - 1 }$

fx (x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  *  2x/2* (x² + y²)$^{\frac{1}{2} - 1 }$

fx (x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  *  x * (x² + y²)$^{\frac{-1}{2} }$

fx (x,y) = $\frac{x}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  *   $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$

fx (x,y) = $\frac{x}{(x^{2} + y^{2}) ^{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} } }$

fx (x,y) = $\frac{x}{(x^{2} + y^{2}) ^{1} }$

fx (x,y) = $\frac{x}{(x^{2} + y^{2})}$

Agora, a derivada parcial em relação a y:

fy (x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$ * [ (x² + y²)$^{\frac{1}{2} }$]'

fy (x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  * $\frac{1}{2}$ * 2y * (x² + y²)$^{\frac{1}{2} - 1 }$

fy (x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  *  2y/2* (x² + y²)$^{\frac{1}{2} - 1 }$

fy (x,y) = $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  *  y * (x² + y²)$^{\frac{-1}{2} }$

fy (x,y) = $\frac{y}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$  *   $\frac{1}{(x^{2} +y^{2} )^{\frac{1}{2} } }$

fy (x,y) = $\frac{y}{(x^{2} + y^{2}) ^{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} } }$

fy (x,y) = $\frac{y}{(x^{2} + y^{2}) ^{1} }$

fy (x,y) = $\frac{y}{(x^{2} + y^{2})}$

c)

Em relação a x:

fx (x,y) = $e^{x}$y + 1 * $e^{y}$

fx (x,y) =  $e^{x}$y + $e^{y}$

em relação a y:

fy (x,y) =  $e^{x}$ * 1 + x$e^{y}$

fy (x,y) =  $e^{x}$ + x$e^{y}$