Question

Calcule as derivadas das funções dadas abaixo por derivação logarítmica.
$(f) y = (x^{2} + 1)^{cos x}$

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = (x {}^{2} + 1) {}^{ \cos x}$

A questão quer saber a derivada dessa função através de derivação logarítmica, eu creio que seja através da aplicação de logaritmo natural.

Seguindo essa lógica vamos multiplicar ambos os lados por logaritmo natural:

$\ln y = \ln(x {}^{2} + 1) {}^{ \cos x}$

Agora lembre da seguinte propriedade:

$( \log_{a}b)^{n} = n. \log_{a}(b)$

Aplicando essa propriedade, temos que:

$\ln y = \cos x. \ln (x {}^{2} + 1)$

Tendo feito essa simplificação, é possível derivarmos tal função, aplicado a derivada em ambos os lados da equação:

$\frac{d}{dx}( \ln y) = \frac{d}{dx} ( \cos x. \ln(x {}^{2} +1 ))$

Teremos que derivar implicitamente, já que temos mais de uma variável envolvida, também devemos usar a regra do produto no segundo membro da equação:

$\frac{ \frac{dy}{dx} }{y} = \sin x. \ln(x {}^{2} + 1) + \cos x. \frac{1}{x {}^{2} + 1} .(2x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = y.\left(\sin x. \ln(x {}^{2} + 1) + \frac{ 2x\cos x}{x {}^{2} + 1 } \right)$

Substituindo a expressão que rege "y", ou seja, a expressão inicial dada pela questão:

$\boxed{ \boxed{ \frac{dy}{dx} = ( x {}^{2} + 1) {}^{ \cos x} . \left( \sin x. \ln(x^{2} + 1) + \frac{ 2x\cos x}{x {}^{2} + 1} \right)}}$

Espero ter ajudado