Question

Calcule abaixo, utilizando o conceito de derivada direcional no ponto e direção indicadas a seguir:

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{-\sqrt{2}}$

Explicação passo-a-passo:

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• Essa tarefa é sobre derivada direcional.

• A derivada direcional é um campo escalar que mede a taxa de variação de uma função numa determinada direção. Essa direção é especificada por um vetor unitário (versor).

• A derivada direcional da função f(x,y) na direção do vetor unitário u = (a, b) é dada por:

        $\mathsf{D_uf(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y}\cdot b}$

• Usando a definição de gradiente, podemos reescrever a expressão acima do seguinte modo:

        $\mathsf{D_uf(x,y)}=\vec{\nabla}\mathsf{f}\cdot \mathsf{\hat u}$

• ou seja, a derivada direcional pode ser vista como o produto escalar de dois vetores. Como o resultado dessa operação é um "número", a derivada direcional é uma função escalar.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

1. Calcule o gradiente da função:

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\hat i+\dfrac{\partial f}{\partial y}\,\hat j}$

$\vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{2x\,\hat i-2y\,\hat j}$

2. Determine o valor do gradiente no ponto P(1, 2):

$\vec{\nabla}\mathsf{f(1,2)}=\mathsf{(2\cdot 1)\,\hat i-(2\cdot 2)\,\hat j}\\\\\therefore \vec{\nabla}\mathsf{f}=\mathsf{2\,\hat i-4\,\hat j}$

3. Calcule o vetor unitário de v:

$\mathsf{\hat v}=\dfrac{\vec{\mathsf{v}}}{|\vec{\mathsf{v}|}}$

$\vec{\mathsf{|v|}}=\mathsf{\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}$

$\mathsf{\hat v}=\mathsf{\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\, \hat i+\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\,\hat j}}\\\\\therefore \mathsf{\hat v}=\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat i+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat j}$

4. Determine a derivada direcional usando a definição:

$\mathsf{D_vf(x,y)}=\vec{\nabla}\mathsf{f}\cdot \mathsf{\hat v}\\\\\mathsf{D_vf(1,2)}=\vec{\nabla}\mathsf{f(1,2)}\cdot \mathsf{\hat v}\\\\\mathsf{D_vf(1,2)}=\mathsf{(2,-4)\cdot\bigg(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigg)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}-\dfrac{4}{\sqrt{2}}}\\\\\therefore \mathsf{D_vf(1,2)}=\mathsf{-\sqrt{2}}$

Continue aprendendo com o link a seguir:

Vetor gradiente

https://brainly.com.br/tarefa/32025004

Bons estudos! : )

Equipe Brainly

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Derivadas direccionais

A derivada direcional no ponto $\sf{(x_{0}~,~ y_{0})}$ é dado por :

$\boxed{\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x_{0}~,~ y_{0})~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{h \to 0}} {\dfrac{ f( \green{x_{0} + a*h}~,~\purple{y_{0} + b*h}) - \purple{f( x_{0}~,~ y_{0})} }{ h } } }$

O limite é a representação da derivada direcional no ponto $\sf{(x_{0}~,~ y_{0})}$ e na direcção do vetor $\sf{ \vec{v}~=~ a\hat{i} + b\hat{j } }$ . Então nos é dado

A função $\sf{ f(x~,~ y)~=~ x^2 - y^2 }$, o ponto $\sf{ P(1~,~ 2) }$ e por fim a direcção do vetor $\sf{ \vec{v}~=~ 2\hat{i} + 2\hat{j} }$

Então perceba que o vetor $\sf{\vec{v}}$ ele não é unitário, para trabalhar com a derivada direcional é necessário que o vetor seja sempre unitário, então não sendo unitário vamos achar o seu versor, então o versor vai ser a razão entre o próprio vetor e o seu módulo. matematicamente :

$\sf{ \vec{v}~=~ \dfrac{ a\hat{i} + b\hat{j} }{ || \vec{ v }|| } }$

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ \dfrac{ a\hat{i} + b\hat{j} }{ \sqrt{ a^2 + b^2} } }$

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ \dfrac{ 2\hat{i} + 2\hat{j} }{\sqrt{ 2^2 + 2^2 } } }$

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ \dfrac{ 2\hat{i} + 2\hat{j} }{ \sqrt{ 2^2*2 } } }$

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ \dfrac{ \cancel{2} }{\cancel{2}*\sqrt{2}}\hat{i} + \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2}*\sqrt{2}}\hat{j} }$

$\boxed{ \sf{ \blue{ \vec{v}~=~ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} } } }$

Logo vamos ter :

$\sf{ \dfrac{ \partial f}{\partial\vec{v}}(1~,~2)~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{ h \to 0}} \sf{ \dfrac{ f\Big(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}h~,~ 2 + \frac{1}{\sqrt{2}}h \Big) - f( 1~,~2) }{h}}$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{ v }}(1~,~2)~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{ h \to 0}} \sf{ \dfrac{ \Big( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}h\Big)^2 - \Big(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}h\Big)^2 - ( 1^2 - 2^2) }{ h } }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{v}}(1~,~2)~=~} \displaystyle\lim_{\sf{ h \to 0}} \sf{ \dfrac{ \Big( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}h + 2 + \frac{1}{\sqrt{2}}h\Big)* \Big( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}h - 2 - \frac{1}{\sqrt{2}}h \Big) - (-3) }{ h } }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{v}}(1~,~2)~=~} \displaystyle\lim_{\sf{ h \to 0}} \sf{ \dfrac{ \Big( 3 + \frac{2}{\sqrt{2}}h \Big)*(-1) + 3 }{ h } }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{v}}(1~,~2)~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{ h \to 0}} \sf{\dfrac{\cancel{ -3} - \frac{2}{\sqrt{2}}h \cancel{+3} }{ h } }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{v}}(1~,~2)~=~} \displaystyle\lim_{\sf{ h \to 0 }} \sf{ \dfrac{- \frac{2}{\sqrt{2}}\cancel{h} }{ \cancel{h} } }$

$\pink{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{v}}(1~,~2)~=~ -\dfrac{2}{\sqrt{2}} } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)