Question

Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes progressões geométricas:
A) (2,4,8,...)
B( ( 20,10,5,.....)

Answer 1

Soma dos n primeiros termos de uma P.G:

$\boxed{\boxed{S_{n}=\dfrac{a_{1}\cdot(1-q^{n})}{1-q}}}$

Quando |q| < 1, podemos achar a soma dos infinitos termos da P.G:

$\boxed{\boxed{S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-q}}}$
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a)

$a_{1}=2\\a_{2}=4$

Achando a razão da P.G:

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{4}{2}=2$

|q| = 2 e não é menor que 1, então usamos a primeira fórmula:

$S_{n}=a_{1}\cdot\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\\\\\\S_{n}=2\cdot\dfrac{1-2^{n}}{1-2}\\\\\\S_{n}=\dfrac{2}{(-1)}\cdot(1-2^{n})\\\\\\S_{n}=(-2)\cdot(1-2^{n})\\\\\\S_{n}=-2+2\cdot2^{n}\\\\\\\boxed{\boxed{S_{n}=2^{n+1}-2}}$

A soma é divergente, então não podemos achar um valor para ela sem um valor de n dado.

b)

$a_{1}=20\\a_{2}=10\\\\q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$

|q| = 1 / 2 < 1, então podemos usar a segunda fórmula e encontrar a soma infinita:

$S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-q}\\\\\\S_{\infty}=\dfrac{20}{1-(\frac{1}{2})}\\\\\\S_{\infty}=\dfrac{20}{(\frac{1}{2})}\\\\\\S_{\infty}=20\cdot\dfrac{2}{1}\\\\\\\boxed{\boxed{S_{\infty}=40}}$