Question

Calcule a soma dos 21 primeiros termos da pg (1/32,1/16,1/8...)

Answer 1

Olá.

Nessa questão iremos usar alguns conceitos, que apresento abaixo.

- Potência com expoente negativo. Quando tem um expoente negativo, inverte-se a base em forma de fração.

 

$\mathsf{a^{-1}=\dfrac{1}{a}}$

 

- Razão de uma P.G (q). A razão de uma P.G (período de repetição) é dado pelo quociente de um termo com seu antecessor.

 

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}$

- Soma de termos da P.G finita. A soma de termos de uma P.G finita é dada por uma fórmula.

 

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}$

 

- Fatoração de termos. Basicamente, fatorar por fatores primos com o intuito de chegar na forma potência.

Abaixo demonstro a P.G em sua forma fatorada, já colocando sem fração.

$\mathsf{P.G=\left\{\dfrac{1}{32},~\dfrac{1}{16},~\dfrac{1}{8},~...\right\}}\\\\\\ \mathsf{P.G=\left\{\dfrac{1}{2^5},~\dfrac{1}{2^4},~\dfrac{1}{2^3},~...\right\}}\\\\\\ \mathsf{P.G=\left\{2^{-5},~2^{-4},~2^{-3},~...\right\}}$

A razão dessa P.G será:

$\mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_1}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{2^{-4}}{2^{-5}}}\\\\ \mathsf{q=2^{-4-(-5)}}\\\\ \mathsf{q=2^{-4+5}}\\\\ \mathsf{q=2^{1}}$

Agora, vamos direto ao cálculo da soma dos 21 termos.

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}\\\\\\ \mathsf{S_{21}=\dfrac{2^{-5}\cdot(2^{21}-1)}{2-1}}\\\\\\ \mathsf{S_{21}=\dfrac{2^{-5}\cdot(2^{21}-1)}{1}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{S_{21}=2^{-5}\cdot(2^{21}-1)}}$

Calculando com valores grandes, teremos:

$\mathsf{S_{21}=2^{-5}\cdot(2^{21}-1)}\\\\ \mathsf{S_{21}=2^{-5}\cdot(2.097.152-1)}\\\\ \mathsf{S_{21}=\dfrac{1}{2^{5}}\cdot(2.097.151)}\\\\ \mathsf{S_{21}=\dfrac{2.097.151}{32}}\\\\ \boxed{\mathsf{S_{21}=65.535,96875}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$