Question

Calcule a soma dos 20 primeiros termos das seguintes PA's: A) (2,4,6, ...) B) (7,14, ...) C) (10,20,30, ...) D) (1,2,3,4,5,6,7, ...)?Alguém pode mim ajudar?

Answer 1

A soma dos termos de uma progressão aritmética tem uma fórmula para ser calculada:

$\boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}}$

A) $(2,4,6, ...)$

Temos que achar o $a_{20}$, pela fórmula:

$\boxed{a_n = a_1 + (n-1) \times r}$

A razão é obtida subtraindo qualquer termo pelo seu anterior: 4 - 2 = 2. Substituindo na fórmula:

$a_{20} = 2 + (20 - 1) \times 2$

Subtraindo:

$a_{20} = 2 + 19 \times 2$

Multiplicando:

$a_{20} = 2 + 38$

Somando:

$\boxed{a_{20} = 40}$

Substituindo na fórmula da soma:

$S_{20} = \frac{(2 + 40) \times 20}{2}$

Somando:

$S_{20} = \frac{42 \times 20}{2}$

Multiplicando:

$S_{20} = \frac{840}{2}$

Dividindo:

$\boxed{S_{20} = 240}$

B) $(7, 14, ...)$

A razão é 14 - 7 = 7. Substituindo na fórmula:

$a_{20} = 7 + (20 - 1) \times 7$

Subtraindo:

$a_{20} = 7 + 19 \times 7$

Multiplicando:

$a_{20} = 7 + 133$

Somando:

$\boxed{a_{20} = 140}$

Substituindo na fórmula da soma:

$S_{20} = \frac{(7 + 140) \times 20}{2}$

Somando:

$S_{20} = \frac{147 \times 20}{2}$

Multiplicando:

$S_{20} = \frac{2940}{2}$

Dividindo:

$\boxed{S_{20} = 1470}$

C) $(10, 20, 30, ...)$

A razão é 20 - 10 = 10. Substituindo na fórmula:

$a_{20} = 10 + (20 - 1) \times 10$

Subtraindo:

$a_{20} = 10 + 19 \times 10$

Multiplicando:

$a_{20} = 10 + 190$

Somando:

$\boxed{a_{20} = 200}$

Substituindo na fórmula da soma:

$S_{20} = \frac{(10 + 200) \times 20}{2}$

Somando:

$S_{20} = \frac{210 \times 20}{2}$

Multiplicando:

$S_{20} = \frac{4200}{2}$

Dividindo:

$\boxed{S_{20} = 2100}$

D) $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)$

A razão é 2 - 1 = 1. Substituindo na fórmula:

$a_{20} = 1 + (20 - 1) \times 1$

Subtraindo:

$a_{20} = 1 + 19 \times 1$

Multiplicando:

$a_{20} = 1 + 19$

Somando:

$\boxed{a_{20} = 20}$

Na verdade, esse resultado já poderia ser realizado mentalmente.

Substituindo na fórmula da soma:

$S_{20} = \frac{(1 + 20) \times 20}{2}$

Somando:

$S_{20} = \frac{21 \times 20}{2}$

Multiplicando:

$S_{20} = \frac{420}{2}$

Dividindo:

$\boxed{S_{20} = 210}$

Perceba que a soma sempre dá números grandes!