calcule a soma de todos os numeorps de quatro algarismos que contem apenas os algarismos 1,2,3,4,5 cada um deles no maximo uma vez
Soluções para a tarefa
399960 é o resultado da soma de todos os números de quatro algarismos que contém apenas 1, 2, 3, 4 e 5 sem repetição.
Análise combinatória
Para resolver o problema primeiro vamos pensar no total de números possíveis com essa combinação de algarismos. Para calcularmos isto utilizaremos a análise combinatória. Para isto basta multiplicarmos os valores possíveis para cada posição do número, ou seja, 5 opções na primeira posição, 4 opções na segunda, 3 opções na terceira e 2 opções na quarta posição. Fica assim:
5 × 4 × 3 × 2 = 120
Sabemos então que são 120 números de quatro algarismos possíveis utilizando 1, 2, 3, 4 e 5 sem repeti-los. Obviamente, seria muito complicado escrevermos estas 120 possibilidades para somarmos tudo mas algumas estratégias podem facilitar. Abaixo, por exemplo, escreveremos todos os números que começam com 1. Veja:
1234; 1235; 1243; 1245; 1253; 1254; 1324; 1325; 1342; 1345; 1354; 1352; 1423; 1425; 1432; 1435; 1452; 1453; 1523; 1524; 1532; 1534; 1542; 1543
Ao todo são 24 números. Observe que o número 1 se repete 24 vezes na primeira posição. Na verdade, se escrevêssemos todos os 120 números possíveis aqui, todos os algarismos (1, 2, 3, 4 e 5) se repetiriam 24 vezes em cada uma das quatro posições. Assim, podemos calcular o total que cada algarismo acrescenta em cada posição. Então temos que:
24 × 1 = 24
24 × 2 = 48
24 × 3 = 72
24 × 4 = 96
24 × 5 = 120
Somando tudo temos o seguinte:
24 + 48 + 72 +96 + 120 = 360
Agora consideraremos que 360 é o valor correspondente a cada posição dentro de uma conta de adição. Assim, teremos o valor 360 na posição das unidades, das dezenas, das centenas e dos milhares. Nosso cálculo ficará então representado desta forma:
360 unidades + 360 dezenas (3600) + 360 centenas (36000) + 360 milhares (360000)
360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
Assim, temos 399960 como o resultado da soma de todos os números de quatro algarismos que contém apenas 1, 2, 3, 4 e 5 sem repetição.
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