Question

Calcule a seguinte integral Trigonométrica

∫ sen x cos^{2} x dx

Answer 1

Resposta:  $\displaystyle\int \mathrm{sen\,}x\cos^2 x\,dx=-\,\dfrac{\cos^3 x}{3}+C.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida:

    $\displaystyle\int \mathrm{sen}\,x\cos^2 x\,dx\\\\\\=\int \cos^2 x\cdot \mathrm{sen}\,x\,dx\\\\\\ =\int -\cos^2 x\cdot (-\,\mathrm{sen}\,x)\,dx$

Faça a seguinte substituição:

    $u=\cos x\quad\Longrightarrow\quad du=-\,\mathrm{sen\,}x\,dx$

Substituindo, a integral fica

    $\displaystyle=\int -\,u^2\,du\\\\\\=-\,\frac{u^{2+1}}{2+1}+C\\\\\\=-\,\frac{u^3}{3}+C$

Substituindo de volta para a variável x, finalmente chegamos ao resultado:

    $=-\,\dfrac{\cos^3 x}{3}+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!