Question

calcule a seguinte integral definida ∫²₀ (x²+4x)dx

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral definida: $\displaystyle{\int_0^2(x^2+4x)\,dx}$.

Para isso, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_0^2 x^2\,dx+4\cdot \int_0^2 x\,dx}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$

$\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+4\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$\dfrac{x^3}{3}+4\cdot \dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^2\\\\\\ \dfrac{x^3}{3}+2x~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2^3}{3}+2\cdot 2^2-\left(\dfrac{0^3}{3}+2\cdot 0^2\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{8}{3}+8\\\\\\ \dfrac{32}{3}~~\checkmark$

Este é o valor desta integral definida.