Question

Calcule a razão e identifique a lei de formação em função do primeiro termo e da razão de cada PG a seguir:

a)(-3, -12/5, -48/25,...)

b) (√2, √6, 3√2,...)

c) (5, 10/π, 20π²,...)

d) (5, -10, 20,...)

obs: com desenvolvimento

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Ascher, que a resolução é simples.

Pede-se a razão (q) de cada uma das PGs que tem a seguinte lei de formação:

a) (-3, -12/5, -48/25,...)

Veja: a razão "q" de qualquer PG é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente.
Então, na PG do item "a", basta que você divida ou "-48/25" por "-12/5" ou divida "-12/5" por "-3", que a razão "q" será constante e igual a uma dessas divisões. Veja:

q = (-48/25)/(-12/5) ----- temos aqui uma divisão de equações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:

q = (-48/25)*(-5/12) ---- efetuando o produto indicado, teremos;
q = (-48)*(-5)/25*12
q = 240/300 ---- dividindo-se numerador e denominador por "60", iremos ficar apenas com:

q = 4/5 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, esta é a razão procurada da questão do item "a". Note que o resultado seria o mesmo se você tivesse dividido "-12/5" por "-3". 

b) (√2, √6, 3√2,...) ---- utilizando-se o mesmo raciocínio, teremos:

q = √(6)/√(2) ---- veja que √(6) = √(2*3) = √(2)*√(3). Assim, substituindo-se, teremos:

q = [√(2)*√(3)]/√(2) ---- dividindo-se √(2) do numerador com √(2) do denominador, teremos:

q = √(3) <--- Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, esta é a razão procurada da questão do item "b". Note que o resultado também teria sido o mesmo se você tivesse dividido 3√(2) por √(6). Veja:

q = 3√(2)/√(6) ---- como √(6) = √(2)*√(3), teríamos:
q = 3√(2)/√(2)*√(3) --- dividindo-se √(2) do numerador com √(2) do denominador, iremos ficar apenas com:

q = 3/√(3) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(3). Assim, fazendo isso, teremos:

q = 3*√(3)/√(3)*√(3)
q = 3√(3)/√(3*3)
q = 3√(3)/√(9) ----- como √(9) = 3, teremos;
q = 3√(3)/3 --- dividindo-se "3" do numerador com "3" do denominador, teremos:

q = √(3) <--- Veja que o resultado é o mesmo, o que fortalece o argumento de que, numa PG, a razão é constante e é obtida pela divisão de qualquer termo consequente pelo seu respectivo antecedente.

c) (5, 10/π, 20π²,...) ---- Veja: para que seja uma PG, então ou o 3º termo será "20/π²" (e não 20π², como está grafado), ou o segundo termo é apenas "10π" (e não 10/π, como está grafado).
Assim, como está mais parecido que o segundo termo seja "10π", então vamos considerar que a PG do item "c" será esta:

c) (5; 10π; 20π².....) ----- se for isto mesmo (se não for você avisa), teremos:

q = 20π²/10π ---- dividindo-se ambos os membros por "10π", vamos ficar apenas com

q = 2π <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".
 
d) (5, -10, 20,...) ----- utilizando-se o mesmo raciocínio das questões anteriores, teremos que;

q = 20/-10
q = - 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item 'd".

Fica apenas a "escrita" da questão do item "c" para você informar como ela é exatamente, certo?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Ascher,
Vamos passo a passo

Numa PG, a razão, q, e dada pelo quociente entre um termo qualquer e o anterior
           q = an/a(n-1)

A lei de formação e o chamado termo geral
           an = a1.q^(n-1)

Usando esses conceitos
              
                    
                           q                                     an 
a)
                 (- 48/25)/(-12/5) = 4/5              = - 3.(4/5)^(n-1)
                 (- 12/5)/(- 3) = 4/5

b)
                 (√6)/(√2) = (√6.√2)/(√2)²
                               = (√12)/2                   = (√2).(√3)^(n-1)
                               = (2√3)/2
                               = √3
               (3√2)/(√6) = (3.√2.√6)/(√6)²
                                = (3√12)/6
                                = (3.2√3)/6
                                = √3
c)
            (20π²)/(10/π) = 2π³ ???
                   ( 10/π)/5 = 2/π ???
                               NÃO É PG
d)
             20/(-10) = - 2                              = 5(- 2)^(n-1)
                - 10/5 = - 2