Question

Calcule a para que os vetores u=(2a+1,a,1), v=(2,0,-1) e w=(0,1,-1) fiquem coplanares.A seguir expresse v como combinação linear de u e v.

Resposta: a=-3/4
v= -4u-3w

Eu consegui chegar no a=-3/4,mas não to conseguindo achar esses valores na combinação linear.

Answer 1

Primeiro, para acharmos o vetor u coplanar aos outros façamos uma matriz com os três vetores.

$\left[\begin{array}{ccc}2a+1&a&1\\2&0&-1\\0&1&-1\end{array}\right]$

Se esse determinante for igual a 0, então eles são coplanares, logo,

(2a + 1) . 0 . (-1) + a . (-1) . 0 + 1 . 2 . 1 - (1 . 0 . 0 + (2a + 1) . (-1) . 1 + a . 2 . (-1)) = 0

0 + 0 + 2 - (0 - 2a - 1 - 2a) = 0

2 - (-4a - 1) = 0

2 + 4a + 1 = 0

4a + 3 = 0

4a = -3

a = -3/4

Beleza, temos então os três vetores

u = (-1/2, -3/4, 1)

v = (2, 0 -1)

w = (0, 1, -1)

Expressando v em função de u e w temos

v = α.u + β.w

v = (-α/2, -3α/4, α) + (0, β, -β)

Então,

(2, 0, -1) = (-α/2, -3α/4, α) + (0, β, -β)

Temos então o sistema

2 = -α/2 + 0 => -α = 4 => α = -4

0 = -3α/4 + β

-1 = α - β

Substituindo α

0 = -3.(-4)/4 + β

0 = 3 + β

β = -3

Sendo assim,

v = α.u + β.w

v = -4.u + (-3).w

v = -4u - 3w