Question

CALCULE A MEDIDA DA MEDIANA RELATIVA AO VÉRTICE C DO TRIANGULO DE VERTICES A(3, 2), B(5, -3), C(0, -4)

Answer 1

Encontrando o ponto médio do segmento $\mathsf{\overline{AB}:}$

$\mathsf{M(x_{_{M}},\;y_{_{M}})}\\\\\\\\ \mathsf{x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_{_{M}}=\dfrac{3+5}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x_{_{M}}=4} \end{array}}\\\\\\\\ \mathsf{y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y_{_{M}}=\dfrac{2-3}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y_{_{M}}=-\,\dfrac{1}{2}} \end{array}}$


O ponto médio do segmento $\mathsf{\overline{AB}}$ é o ponto $\mathsf{M\!\left(4,\;-\,\frac{1}{2} \right ).}$

_________________________

A mediana procurada é o segmento $\mathsf{\overline{CM}.}$ O comprimento da mediana é

$\mathsf{d_{_{C,\,M}}=\sqrt{(x_{_{M}}-x_{_{C}})^{2}+(y_{_{M}}-y_{_{C}})^{2}}}\\\\ \mathsf{=\sqrt{(4-0)^{2}+\left(-\,\dfrac{1}{2}-(-4)\right)^{\!\!2}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{4^2+\left(-\,\dfrac{1}{2}+4\right)^{\!\!2}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{4^2+\left(-\,\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{2}\right)^{\!\!2}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{7}{2}\right)^{\!\!2}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{16+\dfrac{49}{4}}}$

$\mathsf{=\sqrt{\dfrac{64}{4}+\dfrac{49}{4}}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{\dfrac{113}{4}}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\sqrt{113}}{2}~u.c.}$