Question

Calcule a massa do pedaco do cilindro x2+ y2 = 4, y > 0, acima do plano z = -2 e abaixo da superfície z = 4-y, com densidade g= g(x,y,z) = 2y

Answer 1

Olá!

Para calcular a massa do pedaço de cilindro, devemos multiplicar a densidade pela área da superfície do cilindro, mas como a densidade não é constante, precisamos utilizar Integral para nos auxiliar.

Portanto:

$M =\int \:\int \:g\left(x,y,z\right).dS$

Sendo dS a área da superfície.

O primeiro passo é parametrizar a superfície, por se tratar de um cilindro com raio 2, a parametrização ficara assim:

r(u,v) = (2cosu,2senu,v)

u -> ângulo

v -> altura do cilindro

Agora, precisamos encontrar dS:

$dS\:=\left|r_u\times \:r_v\right|\cdot dudv$

$r_u = (-2senu,2cosu,0)\\r_v = (0,0,1)$

Realizando o produto vetorial, temos:

$\det \begin{pmatrix}i&j&k\\ -2\sin \left(u\right)&2\cos \left(u\right)&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} = (2cosu,2senu,0)$

Calculando o módulo do produto vetorial:

$\sqrt{\left(2\cos \left(u\right)\right)^2+\left(2\sin \left(u\right)\right)^2}=2$

Agora nós temos todos os dados necessários para calcular a massa, vamos apenas substituir os valores na fórmula da massa, e depois calcular a integral.

$M\:=\int \:\:\int \:\:g\left(x,y,z\right).dS$

$M\:=\int \:\:\int \:\:g\left(x,y,z\right).\left|r_u\times \:\:r_v\right|\cdot \:dudv$

A densidade é dado por g(x,y,z) = 2y, mas y na forma parametrizada é 2cosu, logo g(u,v) = 4cosu

$M\:=\int \:\:\int \:\:4cos\left(u\right)\cdot 2\cdot \:dudv$

Como é um cilindro fechado, seu ângulo varia de  0 a 2 e sua atura vai de -2 até 4-y, logo:

0 < u < 2$\pi$

-2 < v < 4-2cosu

$M\:=\int _0^{2\pi }\:\int _{-2}^{4-2cos\left(u\right)}\:4cos\left(u\right)\cdot 2\cdot \:dvdu$

$\int _0^{2\pi }\int _{-2}^{4-2\cos \left(u\right)}4\cos \left(u\right)\cdot \:2dvdu=-16\pi$

Portanto, a massa é 16π!