Matemática, perguntado por MFDT, 1 ano atrás

Calcule a massa da placa x2 + y2 ≤25 no plano Oxy com densidade e ajudar a resolver a questão em anexo

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por DuarteME
2

Resposta:

A massa da placa é \dfrac{250}{3}\pi.

Explicação passo-a-passo:

A massa da placa é dada pelo integral duplo:

\displaystyle\iint\limits_R \delta(x,y) \textrm{ d}x \textrm{ d}y,

onde

R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leqslant 25\}

e

\delta(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}.

Notando que R é um círculo de raio 5 centrado na origem e que \delta possui simetria radial, é útil mudar para coordenadas polares:

\begin{cases}x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta\end{cases},

pelo que se pode escrever:

r^2 = x^2 + y^2.

Assim, a densidade é simplesmente dada por r e a região de integração é agora:

T = \{(r,\theta)\in[0,\infty[\times[0,2\pi[: 0 < r < 5\}.

Uma vez que o jacobiano das coordenadas polares é r, o elemento de superfície é:

\textrm{ d}x\textrm{ d}y = r\textrm{ d}r\textrm{ d}\theta.

O integral duplo fica então:

\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^5 r^2 \textrm{ d}r \textrm{ d}\theta = \int\limits_0^{2\pi}\textrm{ d}\theta \int\limits_0^5 r^2 \textrm{ d}r = 2\pi\left[\dfrac{r^3}{3}\right]_0^5 = \dfrac{2\pi}{3}\times5^3 = \dfrac{250}{3}\pi.


MFDT: Certinha . Obrigada.
mmvaz: Esse cara é fera demais!!!!!!! Parabéns!!!!
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