Question

calcule a= log5(na base 3) . log 27(na base 4) . log raiz de 2 (na base 25)​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos desenvolver o logaritmo:

$a = log_{3}(5) \times log_{4}(27) \times log_{25}( \sqrt{2} ) \\ a = log_{3}(5) \times log_{ {2}^{2} }( { 3 }^{3} ) \times log_{ {5}^{2} }( {2}^{ \frac{1}{2} } ) \\ a = log_{3}(5) \times \frac{3}{2} log_{2}(3) \times \frac{1}{4} log_{5}(2) \\ a = \frac{3}{8} \times log_{3}(5) \times log_{2}(3) \times log_{5}(2)$

Agora, vamos fazer troca de base para o primeiro log da esquerda pra direita da última linha:

1)

$log_{3}(5) = \frac{ log_{2}(5) }{ log_{2}(3) }$

Agora vamos voltar para o desenvolvimento do log, substituindo :

$a = \frac{3}{8} \times log_{3}(5) \times log_{2}(3) \times log_{5}(2) \\ a = \frac{3}{8} \times \frac{ log_{2}(5) }{ log_{2}(3) } \times log_{2}(3) \times log_{5}(2) \\ a = \frac{3}{8} \times log_{2}(5) \times log_{5}(2)$

Vamos fazer outra troca de base para os dois logs :

2)

$log_{2}(5) = \frac{ log_{10}(5) }{ log_{10}(2) }$

3)

$log_{5}(2) = \frac{ log_{10}(2) }{ log_{10}(5) }$

Vamos voltar para o desenvolvimento do log:

$a = \frac{3}{8} \times log_{2}(5) \times log_{5}(2) \\ a = \frac{3}{8} \times \frac{ log_{10}(5) }{ log_{10}(2) } \times \frac{ log_{10}(2) }{ log_{10}(5) } \\ a = \frac{3}{8}$

Qualquer dúvida só perguntar. Bons estudos!

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