Question

calcule a inversa da matriz A
A= [2 3]
[1 2]​

Answer 1

❑ A inversa da matriz A é:

$\boxed{\boxed{A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]}}$

❑ O que é matriz inversa?

➯ A inversa de uma matriz A é outra matriz que, quando multiplicada pela matriz A, dá a matriz Identidade.

❑ O que é matriz identidade?

➯ É uma matriz cuja diagonal principal é composta apenas por uns e os demais elementos são zeros. Essa matriz identidade terá a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) da matriz A. Geralmente simbolizada por I (i maiúsculo).

❑ Fórmula da matriz inversa de ordem 2

➯ Tendo a matriz A com elementos genéricos:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

➯ A inversa é dada por:

$\boxed{A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \cdot \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]}$

❑ Vamos resolver nosso problema de duas formas diferentes, a primeira utilizando uma fórmula e a segunda por definição. Na hora de resolver, escolha a que for mais fácil para você.

❑ Resolução com a fórmula

➯ Temos a matriz:

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&3\\1&2\end{array}\right]$

➯ Note que:

• a = 2

• b = 3

• c = 1

• d = 2

➯ Aplicando na fórmula:

$A^{-1} = \dfrac{1}{2 \cdot 2-3 \cdot 1} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]$

$A^{-1} = \dfrac{1}{4-3} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]$

$A^{-1} = \dfrac{1}{1} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]$

$A^{-1} = 1 \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]$

➯ Quando temos um número real multiplicando uma matriz, multiplicamos todos os elementos da matriz pelo número real. Como o número em questão é 1, nenhum valor da matriz é alterado.

$\boxed{\boxed{A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]}}$

❑  Resolução pela definição

➯ Vamos criar uma matriz inversa ($A^{-1}$) com elementos genéricos:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}e&f\\g&h\end{array}\right]$

➯ Temos a matriz A:

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&3\\1&2\end{array}\right]$

➯ Por definição, a matriz inversa multiplicada pela matriz A dará uma matriz identidade de mesma ordem. Como nossa matriz A é de ordem 2 x 2, a matriz identidade também será de ordem 2 x 2.

➯ Nossa matriz identidade será:

$I =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

➯ Agora, vamos efetuar a seguinte operação:

$A \cdot A^{-1} = I$

$\left[\begin{array}{ccc}2&3\\1&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}e&f\\g&h\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

• Agora, vamos efetuar uma multiplicação de matrizes no primeiro membro.

➯ # DICA: na multiplicação de matrizes, você começa multiplicando a primeira linha da primeira matriz pela primeira coluna da segunda matriz. Depois,  a primeira linha da primeira matriz pela segunda coluna da segunda matriz. E então: A segunda linha da primeira matriz pela primeira coluna da segunda matriz.  A segunda linha da primeira matriz pela segunda coluna da segunda matriz.

$\left[\begin{array}{ccc}2e +3g&2f+3h\\e+2g&f+2h\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

➯ Em uma igualdade de matrizes, os elementos em posições correspondentes são iguais. Dessa definição, podemos retirar as seguintes equações:

• 2e + 3g = 1

• e + 2g = 0

• 2f + 3h = 0

• f + 2h = 1

➯ Vamos montar dois sistemas de equação e resolver:

➯ Sistema 1 (variáveis: e, g)

• 2e + 3g = 1

• e + 2g = 0

➯ Vamos multiplicar nossa segunda equação por (-2) e somar a primeira:

• 2e + 3g = 1
• - 2e - 4g = 0

- g = 1

logo:

$\boxed{ g = - 1}$

➯ Utilizando a segunda equação na forma original:

• e + 2g = 0

e - 2 = 0

$\boxed{ e = 2}$

➯ Sistema 2 (variáveis: f, h)

• 2f + 3h = 0

• f + 2h = 1

➯ Vamos isolar a variável f na segunda equação e substituir na primeira:

• f = 1 - 2h

$2 \cdot (1 - 2h) + 3h = 0$

2 - 4h + 3h = 0

2 - h = 0

2 = h

$\boxed{ h = 2}$

➯ Substituindo na segunda equação original:

f + 4 = 1

f = 1 - 4

$\boxed{ f = - 3}$

❑ Então, achamos as variáveis:

$\boxed{ g = - 1}$

$\boxed{ e = 2}$

$\boxed{ h = 2}$

$\boxed{ f = - 3}$

❑ Nossa matriz inversa é dada por:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}e&f\\g&h\end{array}\right]$

➯ Substituindo:

$\boxed{\boxed{A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&2\end{array}\right]}}$

❑ Leia mais sobre matrizes em:

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