Question

Calcule a integral tripla onde W é o sólido limitado por x² + y² =1, z = 1 – x² - y² abaixp do plano z = 4.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos esta integral tripla, devemos definir os limites de integração.

Seja $W$ o sólido limitado por $x^2+y^2=1$, $z=1-x^2-y^2$ abaixo do plano $z=4$.

Veja a imagem em anexo: o sólido $W$ está representado no espaço. Como uma possível interpretação, o volume do sólido

A integral que nos dará o volume do sólido $W$ é:

$\displaystyle{\int\int\int_W\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy\,dz$

Veja que o sólido $W$ está compreendido nos limites:

$\begin{cases}0\leq x\leq 1\\ 0\leq y\leq 1\\ 1-x^2-y^2\leq z\leq 4\\\end{cases}$

Então, utilizamos coordenadas cilíndricas para resolvermos a integral.

Seja $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ e $z=z$. Veja que $x^2+y^2=1$, logo fazemos:

$(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=1$

Calcule as potências

$r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=1$

Fatorando $r^2$, teremos

$r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=1$

Sabendo que $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, temos

$r^2=1$

Retirando a raiz quadrada em ambos os lados, teremos

$r=\pm1$

Porém, consideramos apenas a solução positiva e o limite será $0\leq r\leq 1$.

O ângulo $\theta$ varia livremente no plano $xy$, logo deduz-se que $0\leq \theta\leq 2\pi$.

Por fiz, veja que $z=1-x^2+y^2$ pode ser reescrito como:

$z=1-(x^2+y^2)\\\\\\ z=1-r^2$

Então, devemos calcular o Jacobiano da transformação:

$J=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial z}\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial z}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial z}\\\end{vmatrix}$

Calculando as derivadas parciais, teremos

$J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\ \sin\theta&r\cos\theta&0\\ 0&0&1\\\end{vmatrix}$

Calcule o determinante aplicando a regra de Sarrus:

$J=r\cdot\cos^2\theta-(-r\cdot\sin^2\theta)$

Fatore $r$

$J=r\cdot(\cos^2\theta+\sin^2\theta)$

Novamente, faça $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$

$J=r$

Dessa forma, adotamos a ordem de integração $dz\,dr\,d\theta$ e nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{1-r^2}^4\sqrt{1}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta}$

Calcule a raiz e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{1-r^2}^4r\,dz\,dr\,d\theta}$

Sabendo que $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ e a integral mais interna está definida para $z$, temos

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^1r\cdot(4-(1-r^2))\,dz\,dr\,d\theta}$

Some e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_0^13r+r^3\,dr\,d\theta}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{3r^2}{2}+\dfrac{r^4}{4}~\biggr|_0^1\,d\theta}\\\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}\,d\theta}$

Some as frações

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{7}{4}\,d\theta}$

Aplique novamente a propriedade discutida anteriormente

$\dfrac{7}{4}\cdot(2\pi-0)\\\\\\ \dfrac{7\pi}{2}$

Este é o volume do sólido $W$.