Calcule a integral ∫∫R y dA onde R é a região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y²=4-4x e y²=4+4x. Utilize a mudança de variáveis x=u²-v² e y=2uv.
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A integral resulta em 2.
A região de integração está na figura, e sua transformação para x = u² - v² e y = 2uv resulta em um quadrado de lado igual a 1, ou seja, 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1.
Para aplicar a mudança de variáveis, devemos calcular o Jacobiano da transformação, dado por:
J = |(dx/du)(dy/dv) - (dy/du)(dx/dv)|
Como temos x = u² - v² e y = 2uv, temos:
dx/du = 2u
dx/dv = -2v
dy/du = 2v
dy/dv = 2u
Logo, temos:
J = |(2u)(2u) - (2v)(-2v)| = 4u² + 4v² = 4(u² + v²)
Substituindo na integral, temos:
Calculando, encontramos a área:
Anexos:
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