Question

Calcule a integral por substituição trigonométrica
HELP????

Answer 1

Resposta:

$\Large\int \frac{1}{ \sqrt{ {x}^{2} + 49 } } dx \\ \\ Usamos \: \purple{x = a \: tan (\theta)} \\ \\ \blue{ dx = a \: {sec}^{2} (\theta )} \\\\ \purple{x = 7 \: tan (\theta)} \\ \\\blue{ dx = 7 \: {sec}^{2} (\theta )}\\ \\Para \: obter \: \purple{ a \: sec( \theta)} \\ \\ \sqrt{ {a}^{2} + {x}^{2} } = a \: sec( \theta) \\ \\ \sqrt{ {x}^{2} + {7}^{2} } = \blue{7 \: sec( \theta)} \\ \\ \int \frac{1}{ \sqrt{ {x}^{2} + {7}^{2} } } dx = \\ \\ \int \frac{7{sec}^{2}( \theta )d \theta}{7sec( \theta)} \\ \\ = \int sec (\theta) d \theta \\ \\ = ln | \sec( \theta) + \tan( \theta) | \: + k \\ \\ \: Usando \: o \: triângulo \: auxiliar \: temos : \\ \\ \tan( \theta) = \frac{x}{7} \\ \\ \sec( \theta) = \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 49 } }{7} \\ \\ Voltando \: para \: \blue{x }\: temos : \\ \\ ln\left | \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 49 } }{7} + \frac{x}{7 } \right | + k\\ \\ ln \left| \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 49 }+x }{7} \right | + k \\ \\ = ln\left | \sqrt{ {x}^{2} + 49 } \right| \red{\underline{- ln |7| + k \: constante}} \\ \\ \Large\boxed{\green{ ln\left( | \sqrt{ {x}^{2} + 49 } + x| \right) + k}}\\\\ \Large \boxed{ \underline{\blue{\bf Bons\: Estudos!}\:\bf 16/05/2021}}$