Question

Calcule a integral por substituição de variável

Answer 1

$\displaystyle I=\int\! \frac{4x}{2x^2+3}\,dx\\\\\\ =\int\! \frac{1}{2x^2+3}\cdot 4x\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Faça a seguinte substituição:

$2x^2+3=u~~\Rightarrow~~4x\,dx=du$


Substituindo, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$\displaystyle=\int\! \frac{1}{u}\,du\\\\\\ =\mathrm{\ell n}\!\left|u\right|+C\\\\ =\mathrm{\ell n}\!\left|2x^2+3\right|+C\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\! \frac{4x}{2x^2+3}\,dx=\mathrm{\ell n}\big(2x^2+3\big)+C \end{array}}$

( note que podemos dispensar o módulo no logaritmo, visto que $2x^2+3$ nunca é sempre positivo )


Bons estudos! :-)