Question

Calcule a integral por substituição de variável

Answer 1

Olá lucas!

Temos a seguinte integral a ser calculada:

$\\ \int\limits (x^2+3)^42xdx {} \,$

Aconselho a fazer a variável de maior grau igual a "u"

Nesse caso, será, " u = x²+3"


$u = x^2+3$

Derivando em implicitamente em relação a "u"

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (x^2+3) \\ \\ 1 = (2x+0) \frac{dx}{du} \\ \\ 1du = 2xdx$

Agora, iremos substituir na integral proposta:

u = x²+3
2xdx = du
---------------------------------------------------



$\\ \int\limits (x^2+3)^4 {2x} \, dx = \int\limits {(u)^4} \, du$

Observe, que:

$n \neq -1$

Então, podemos utilizar a seguinte propriedade:

$n \neq -1 , \left \{ {{ \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1}+C } \right.$

Então ficamos:

$\\ \int\limits u^4du {} \, = \frac{u^4^+^1}{4+1} +C$


$\\ = \frac{u^5}{5} +C$

Agora, não se esqueça que nossa variável inicial era "X" e não "U"

Substitua , u = x²+3
-----------------------------

$\\ = \frac{(x^2+3)^5}{5} +C$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \left(x^2+3\right)^4 \:2x~dx\\\\\\=2\cdot \int \left(x^2+3\right)^4xdx\\\\\\=2\cdot \int \frac{u^4}{2}du\\\\\\=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \:u^4du\\\\\\=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{4+1}}{4+1}\\\\\\=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\left(x^2+3\right)^{4+1}}{4+1}\\\\\\=\frac{1}{5}\left(x^2+3\right)^5$

$\sf \to \boxed{\sf =\frac{1}{5}\left(x^2+3\right)^5+C}$