Calcule a integral por partes
Anexos:

Lukyo:
∫ arcsen x dx
Soluções para a tarefa
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Olá Lucas!
Seja Y = acrsenx

Antes de derivarmos, vamos achar uma expressão que nos de a derivada do "arcsenx" sem dores de cabeça:
Aplicando Sen que é inverso do arcsen em ambos os lado:

Como Sen é inverso de "ARCSENX"
Eles se cancelam, assim restando apenas a variável "X"

Derivando implicitamente em relação "x"

Lembrando que:

Como nós tinhamos que "

Basta substituirmos nessa igualdade:

Então:

Nosso "dv = dx"

--------------------------------------------------
Nossa integral fica:

---------------------------------------------------
Resolvendo a segunda integral por substituição simples:

Derivando implicitamente em "u"

Substituindo na segunda integral:

Usando integração por potência:

Então,

Lembrando que "u = 1-x²"

Agora substituindo na integral maior:
![\\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)- \int\limits { \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } } \,
\\
\\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)- [ - \sqrt{1-x^2} ]
\\
\\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)+ \sqrt{1-x^2} \\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)- \int\limits { \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } } \,
\\
\\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)- [ - \sqrt{1-x^2} ]
\\
\\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)+ \sqrt{1-x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5C%5C++%5Cint%5Climits+arcsenx+%7B%7D+%5C%2C+dx+%3D+x%28arcsenx%29-+%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7Bxdx%7D%7B+%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D+%7D+%7D+%5C%2C%0A+%5C%5C+%0A+%5C%5C+%5Cint%5Climits+arcsenx+%7B%7D+%5C%2C+dx+%3D+x%28arcsenx%29-+%5B+-+%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D+%5D%0A+%5C%5C+%0A+%5C%5C+%5Cint%5Climits+arcsenx+%7B%7D+%5C%2C+dx+%3D+x%28arcsenx%29%2B++%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D)
Lembrando da constante de integração "K"

Seja Y = acrsenx
Antes de derivarmos, vamos achar uma expressão que nos de a derivada do "arcsenx" sem dores de cabeça:
Aplicando Sen que é inverso do arcsen em ambos os lado:
Como Sen é inverso de "ARCSENX"
Eles se cancelam, assim restando apenas a variável "X"
Derivando implicitamente em relação "x"
Lembrando que:
Como nós tinhamos que "
Basta substituirmos nessa igualdade:
Então:
Nosso "dv = dx"
--------------------------------------------------
Nossa integral fica:
---------------------------------------------------
Resolvendo a segunda integral por substituição simples:
Derivando implicitamente em "u"
Substituindo na segunda integral:
Usando integração por potência:
Então,
Lembrando que "u = 1-x²"
Agora substituindo na integral maior:
Lembrando da constante de integração "K"
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