Question

Calcule a integral por partes

Answer 1

Olá Lucas!

Seja Y = acrsenx

$y = Arcsenx$

Antes de derivarmos, vamos achar uma expressão que nos de a derivada do "arcsenx" sem dores de cabeça:

Aplicando Sen que é inverso do arcsen em ambos os lado:  

$Seny = SenArcsenx$

Como Sen é inverso de "ARCSENX"

Eles se cancelam, assim restando apenas a variável "X"

$Seny = x$

Derivando implicitamente em relação "x"

$\frac{d}{dx} (Seny) = \frac{d}{dx} (x) \\ \\ \frac{dx}{dy} Cosy= 1 \\ \\\frac{dx}{dy} = \frac{1}{Cosy}$

Lembrando que:

$\\ Cos^2y+Sen^2y = 1 \\ \\ entao: \\ \\ Cos^2y = 1-Sen^2y \\ \\ Cosy = \sqrt{1-Sen^2y}$

Como nós tinhamos que "

$Sen^2y = x$

Basta substituirmos nessa igualdade:

$\\ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{Cos^2y} \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ \sqrt{1-Sen^2y} } \\ \\ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$

Então:


$\\ u = Arcsenx \\ \\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (Arcsenx) \\ \\ 1 = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \frac{dx}{du} \\ \\ du = \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} }$

Nosso "dv = dx"

$\\ dv = dx \\ \\ \int\limits dv {} \, = \int\limits dx{} \, \\ \\ v = x$
--------------------------------------------------

Nossa integral fica:

$\\ \int\limits {u} \, dv = uv- \int\limits {v} \, du \\ \\ = x(arcsenx)- \int\limits {} \, \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} }$
---------------------------------------------------

Resolvendo a segunda integral por substituição simples:

$u = 1-x^2$

Derivando implicitamente em "u"

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (1-x^2) \\ \\ 1 = (0-2x) \frac{dx}{du} \\ \\ du = -2xdx \\ \\ -\frac{du}{2} = xdx$

Substituindo na segunda integral:

$\\ \int\limits { \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } } \, = \int\limits { \frac{ -\frac{du}{2} }{ \sqrt{u} } } \, = \\ \\ = - \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{u^ \frac{1}{2} } } \, du \\ \\ = - \frac{1}{2} \int\limits u^-^ \frac{1}{2} {} \, du$

Usando integração por potência:

$n \neq -1, \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1}$

Então,


$\\ -\frac{1}{2} \int\limits {u^- ^\frac{1}{2} } \, du = -\frac{1}{2} \frac{u^-^ \frac{1}{2} ^+^1}{- \frac{1}{2} +1} \\ \\ = -\frac{1}{2} \frac{u^ \frac{1}{2} }{\frac{1}{2}} \\ \\ = -u^ \frac{1}{2} \\ \\ = - \sqrt{u}$

Lembrando que "u = 1-x²"

$\int\limits { \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } } \, = - \sqrt{1-x^2}$

Agora substituindo na integral maior:

$\\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)- \int\limits { \frac{xdx}{ \sqrt{1-x^2} } } \, \\ \\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)- [ - \sqrt{1-x^2} ] \\ \\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)+ \sqrt{1-x^2}$

Lembrando da constante de integração "K"

$\\ = \\ \int\limits arcsenx {} \, dx = x(arcsenx)+ \sqrt{1-x^2}+K$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int arcsen \left(x\right)dx\\\\\\=x~arcsin \left(x\right)-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\\\\\=x~arcsin \left(x\right)-\left(-\sqrt{1-x^2}\right)\\\\\\=x~arcsin \left(x\right)+\sqrt{1-x^2}\\\\\\\to \boxed{\sf =x~arcsin \left(x\right)+\sqrt{1-x^2}+C}$