Question

Calcule a integral por partes

Answer 1

Olá!
    Lembrando que na integração por partes, podemos relembrar como proceder utilizando a seguinte "anotação":

    $\displaystyle \int{u\;dv}=uv-\displaystyle\int{v\;du}$

Logo, podemos prosseguir, lembrando também (integrando por partes) que a integral de  $\ln x=x(\ln x-1)$  . Então,

$\displaystyle \int {(\ln x)^2} \, dx = \ln x \cdot [x(\ln x-1)]- \displaystyle \int{[x(\ln x - 1)]\dfrac{1}{x}}dx= \\ \\ \\ = x(\ln x)^2-x\ln x \displaystyle - \int{(\ln x-1)}dx= \\ \\ \\ =x(\ln x)^2-x\ln x-([x(\ln x-1)]-x)+k,\;\; k\in\mathbb{R} = \\ \\ = x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+k,\;\; k\in\mathbb{R}$

Bons estudos!

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \left(inx\right)^2dx\\\\\\=i^2n^2x^3-\int \:2i^2n^2x^2dx\\\\\\=i^2n^2x^3-\frac{2i^2n^2x^3}{3}\\\\\\\to \boxed{\sf =i^2n^2x^3-\frac{2i^2n^2x^3}{3}+C}$