Question

Calcule a integral por partes

Answer 1

Olá Lucas!

Façamos o "LOGARITMANDO = "t"

$t = Senx$

Derivando implicitamente em "T"

$\\ t = Senx \\ \\ \frac{d}{dt} (t) = \frac{d}{dt} (Senx) \\ \\ 1 = Cosx \frac{dx}{dt} \\ \\ dt = Cosxdx$
---------------------------------------------

Substituindo na integral:

$\\ \int\limits CosxLn(Senx) {} \, dx = \int\limits lnt {} \, dt$

Fazendo "u = ln(t) e dv = dt"

$u = lnt$

Derivando implicitamente em "u'


$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (Lnt) \\ \\ 1 = \frac{1}{t} \frac{dt}{du} \\ \\ du = \frac{dt}{t}$

Como dt = dv

∫ dv = ∫dt

v = t
----------------------------------------------------

Indo a formula de integral por partes:

$\\ \int\limits u {} \, dv = uv - \int\limits v {} \, du \\ \\ \int\limits Ln(t) {} \, dt = tLn(t) - \int\limits t {} \, \frac{dt}{t} \\ \\ \int\limits Ln(t) {} \, dt = tLn(t) - \int\limits dt{} \, \\ \\ \int\limits Ln(t) {} \, dt = tLn(t) - t$

Substituindo "t = Senx Como tinhamos"

$\\ \int\limits Ln(t) {} \, dt = SenxLn(Senx) - Senx \\ \\ = Sen(x)[ Ln(Senx) - 1]$

Lembrando da nossa constante "K"


$\\ \\ = Sen(x)[ Ln(Senx) - 1]+K$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int cos \cdot \left(x\right)in~(sen ~x ) dx\\\\\\=in\cdot int ~cos \left(x\right)sin \left(x\right)dx\\\\\\=in\cdot \int \:udu\\\\\\in\frac{u^{1+1}}{1+1}\\\\\\=in\frac{sin ^{1+1}\left(x\right)}{1+1}\\\\\\=\frac{in}{2}sin ^2\left(x\right)\\\\\\\to \boxed{\sf =\frac{in}{2}sin ^2\left(x\right)+C}$