Matemática, perguntado por nóbileBOLADÃO, 1 ano atrás

calcule a integral indefinida de ∫ x arcsen(x) dx / √(1 - x²


AltairAlves: é uma divisão?
nóbileBOLADÃO: sim, a divisão aparece após o dx
AltairAlves: Primeiro integra, depois divide?
nóbileBOLADÃO: não, é para calcular a integral da divisão
AltairAlves: ok
AltairAlves: então é x arcsen sobre √(1 - x²)
nóbileBOLADÃO: sim

Soluções para a tarefa

Respondido por AltairAlves
7
arcsen(x) =  sen^{-1}(x)


A integral se resolve por partes:


Escolhamos "u" e "dv" para realizá-la:

u =  sen^{-1}(x)

Derivada de u:

du =  \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2}}} dx

dv = x dx
v =  \frac{x^{2}}{2}


Reescrevemos a integral:

∫ x .  sen^{-1}(x) dx

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) - ∫  \frac{x^{2}}{2} .  \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2}}} dx

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  \frac{1}{2}  x^{2} .  \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2}}} dx

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  \frac{1}{2}  \frac{x^{2}}{ \sqrt{1- x^{2}}} dx


Fazemos agora uma substituição trigonométrica para resolver a nova integral:

u = x                x = sen(y)
a = 1                x² = sen²(y)

dx = cos(y) dy   [a derivada de sen(y)]


Reescrevemos a nova integral usando a substituição trigonométrica:

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  \frac{1}{2}  \frac{sen^{2}(y) \ . \ cos(y)}{ \sqrt{1-sen^{2}(y)}} dy


Aplicamos uma identidade trigonométrica para o valor que está dentro da raiz:

1 - sen²(y) = cos²(y)

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  \frac{1}{2}  \frac{sen^{2}(y) \ . \ cos(y)}{ \sqrt{cos^{2}(y)}} dy


Tirando o cos²(y) de dentro da raiz:


 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) - 
\frac{1}{2}  \frac{sen^{2}(y) \ . \ cos(y)}{cos(y)} 
dy


Podemos, agora, cancelar os dois cos(y):


 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  \frac{1}{2}  \frac{sen^{2}(y) \ . \ 1}{1} 
dy


Ficando:

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  
\frac{1}{2}  sen^{2}(y) dy


Agora, aplicamos a identidade ângulo duplo para seno:

sen²(y) =  \frac{1 - cos(2y)}{2}


 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) - 
\frac{1}{2}  \frac{1 - cos(2y)}{2} dy


Retirando a constante 1/2:

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) - 
\frac{1}{2} \ . \ \frac{1}{2} ∫ 1 - cos(2y) dy


 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  
\frac{1}{4} ∫ 1 - cos(2y) dy

Separamos a integral em duas:


 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) -  
\frac{1}{4} ∫ dy +  - 
\frac{1}{4}   ∫ cos(2y) dx


Agora, podemos integrar:

 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) - 
\frac{1}{4}y +  - 
\frac{1}{4} .  \frac{1}{2} . sen(2y) + C


 \frac{x^{2}}{2} .  sen^{-1}(x) - 
\frac{1}{4}y +  - 
\frac{1}{8} . sen(2y) + C





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