Question

calcule a integral indefinida de ∫ x arcsen(x) dx / √(1 - x²

Answer 1

arcsen(x) = $sen^{-1}(x)$


A integral se resolve por partes:


Escolhamos "u" e "dv" para realizá-la:

u = $sen^{-1}(x)$

Derivada de u:

du = $\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2}}}$ dx

dv = x dx
v = $\frac{x^{2}}{2}$


Reescrevemos a integral:

∫ x . $sen^{-1}(x)$ dx

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - ∫ $\frac{x^{2}}{2}$ . $\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2}}}$ dx

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $x^{2}$ . $\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2}}}$ dx

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{x^{2}}{ \sqrt{1- x^{2}}}$ dx


Fazemos agora uma substituição trigonométrica para resolver a nova integral:

u = x                x = sen(y)
a = 1                x² = sen²(y)

dx = cos(y) dy   [a derivada de sen(y)]


Reescrevemos a nova integral usando a substituição trigonométrica:

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{sen^{2}(y) \ . \ cos(y)}{ \sqrt{1-sen^{2}(y)}}$ dy


Aplicamos uma identidade trigonométrica para o valor que está dentro da raiz:

1 - sen²(y) = cos²(y)

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{sen^{2}(y) \ . \ cos(y)}{ \sqrt{cos^{2}(y)}}$ dy


Tirando o cos²(y) de dentro da raiz:


$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{sen^{2}(y) \ . \ cos(y)}{cos(y)}$ dy


Podemos, agora, cancelar os dois cos(y):


$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{sen^{2}(y) \ . \ 1}{1}$ dy


Ficando:

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $sen^{2}(y)$ dy


Agora, aplicamos a identidade ângulo duplo para seno:

sen²(y) = $\frac{1 - cos(2y)}{2}$


$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2}$ ∫ $\frac{1 - cos(2y)}{2}$ dy


Retirando a constante 1/2:

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{2} \ . \ \frac{1}{2}$ ∫ 1 - cos(2y) dy


$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{4}$ ∫ 1 - cos(2y) dy

Separamos a integral em duas:


$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{4}$ ∫ dy + $- \frac{1}{4}$  ∫ cos(2y) dx


Agora, podemos integrar:

$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{4}y$ + $- \frac{1}{4}$ . $\frac{1}{2}$ . sen(2y) + C


$\frac{x^{2}}{2}$ . $sen^{-1}(x)$ - $\frac{1}{4}y$ + $- \frac{1}{8}$ . sen(2y) + C