Question

Calcule a integral imprópria

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2}\,dt$

Answer 1

Queremos calcular $\mathsf{I=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt}$

Como $\mathsf{f(t)=e^{-t^{2}}\,\textgreater\,0\,\,\,\forall\,\,t\in\mathbb{R}}$, temos que $\mathsf{I\ge0}$.

Por conveniência, portanto, podemos calcular $\mathsf{I^{2}=\Bigg(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\Bigg)^{2}}$ e depois tirar a raiz quadrada do resultado obtido

$\mathsf{I^{2}=\Bigg(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\Bigg)^{2}}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\Bigg(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\Bigg)\Bigg(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\Bigg)}$

Podemos fazer uma mudança de variáveis trivial $\mathsf{t\leftarrow u}$, ficando com

$\mathsf{I^{2}=\Bigg(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\Bigg)\Bigg(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^{2}}du\Bigg)}$

(variáveis a serem integradas são variáveis mudas)

Sabemos, do cálculo, que $\mathsf{\displaystyle\iint_{A}p(x)q(y)dxdy=\bigg(\int_{A}p(x)dx\bigg)\cdot\bigg(\int_{A}q(y)dy\bigg)}$, então

$\mathsf{I^{2}=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}\cdot e^{-u^{2}}\,dt\,du=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(t^{2}+u^{2})}\,dt\,du}$

Temos agora uma integral dupla em todo $\mathbb{R}^{2}$. Podemos visualizar $\mathbb{R}^{2}$ como uma "bola" de raio infinito e utilizar coordenadas polares

Fazendo $\mathsf{t=r\,cos\,\theta,\,u=r\,sen\,\theta}$, com $\mathsf{r\in(0,\infty)}$ e $\mathsf{\theta\in(0,2\pi)}$, temos que o jacobiano da transformação é $\mathsf{|J|=r}$. Além disso, é possível notar que $\mathsf{t^{2}+u^{2}=r^{2}}$.

$\displaystyle\mathsf{I^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(t^{2}+u^{2})}\,dt\,du}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-r^{2}}|J|\,dr\,d\theta}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}r\,e^{-r^{2}}\,dr\,d\theta}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\int\limits_{0}^{2\pi}\bigg[\int\limits_{0}^{+\infty}r\,e^{-r^{2}}\,dr\bigg]d\theta}$

Podemos calcular a integral em r, já que $\mathsf{\frac{d}{dr}(-\frac{1}{2})e^{-r^{2}}=(-\frac{1}{2})e^{-r^{2}}(-2r)=r\,e^{-r^{2}}}$

$\displaystyle\mathsf{\int\limits_{0}^{+\infty}r\,e^{-r^{2}}\,dr=\bigg[-\dfrac{1}{2}e^{-r^{2}}\bigg]_{r=0}^{+\infty}=\dfrac{1}{2}e^{-0^{2}}-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{r\to\infty}e^{-r^{2}}=\dfrac{1}{2}e^{0}-\dfrac{1}{2}\cdot0=\dfrac{1}{2}}$

Com isso, temos

$\displaystyle\mathsf{I^{2}=\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2}\,d\theta}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}d\theta}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\dfrac{1}{2}\big[\theta\big]_{\theta=0}^{\theta=2\pi}}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\dfrac{1}{2}\big[2\pi-0\big]}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\dfrac{2\pi}{2}}\\\\\\\mathsf{I^{2}=\pi}$

Portanto:

$\boxed{\boxed{\mathsf{I=\sqrt{\pi}}}}$
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Utilizando conhecimentos de probabilidade

Dizemos que uma variável aleatória é contínua se existe uma função, chamada função de densidade de probabilidade, que especifica as probabilidades dessa variável pertencer a subconjuntos da reta

A função de densidade de probabilidade caracteriza unicamente a distribuição de uma variável aleatória.

A principal característica de uma função de densidade de probabilidade $\mathsf{g}$ é que $\mathsf{\int_{\mathbb{R}}g(t)\,dt=1}$
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Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma^{2}$ (onde pode-se mostrar que esses são a média e variância, respectivamente) se sua função de densidade de probabilidade é dada por

$\mathsf{g(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,exp\Big(-\frac{1}{2\sigma^{2}}(t-\mu)^{2}\Big),\,\,\,para\,t\in\mathbb{R}}$

Reconhecemos, portanto, que $\mathsf{e^{-t^{2}}=exp\big(-(t-0)^{2}}\big)$ é o núcleo de uma distribuição normal com média zero e variância $\sigma^{2}$ tal que

$\mathsf{-\dfrac{1}{2\sigma^{2}}=-1\,\,\Leftrightarrow\,\,2\sigma^{2}=1\,\,\Leftrightarrow\,\,\sigma^{2}=\dfrac{1}{2}}$

A densidade (núcleo com constante de integração) da distribuição normal com média zero e variância 1/2 é

$\mathsf{g(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\bigg(-\dfrac{1}{2\sigma^{2}}(t-\mu)^{2}\bigg)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\frac{1}{2}}}exp\bigg(-\dfrac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}(t-0)^{2}\bigg)}\\\\\\\mathsf{g(t)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}exp\big(-t^{2}\big)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}}$

Por definição de função de densidade de probabilidade, temos que

$\displaystyle\mathsf{1=\int_{\mathbb{R}}g(t)\,dt=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}\,dt}$

Portanto,

$\displaystyle\mathsf{\sqrt{\pi}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}\,dt=\sqrt{\pi}\cdot1\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\int_{\mathbb{R}}e^{-t^{2}}\,dt=\sqrt{\pi}}$