Question

Calcule a integral ∫∫ f(x, y)dA para f(x, y) = x. sen y no retângulo D = [0, π] × [0, π]

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de integrais duplas.

Devemos calcular a integral $\displaystyle{\iint_D f(x,~y)\,dA}$, em que $f(x,~y)=x\cdot\sin(y)$ sobre a região retangular $D=[0,~\pi]\times [0,~\pi]$.

Lembre-se que a integral dupla de uma função de duas variáveis $f(x,~y)$ em uma região retangular $R=[a,~b]\times[c,~d]$ pode ser calculada como $\displaystyle{\iint_Rf(x,~y)\,dA=\int_a^b\int_c^d f(x,~y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_a^b f(x,~y)\,dx\,dy}$, em que $dA$ é o elemento de área.

Substituindo a função e os limites inferiores e superiores da região retangular, temos a integral:

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_0^{\pi} x\cdot\sin(y)\,dy\,dx}$

Primeiro, calculamos a integral mais interna em respeito à variável $y$. Funções da variável $x$ são consideradas constantes neste caso e pode-se aplicar a regra da constante: $\displaystyle{\int f(x)\cdot f(y)\,dy=f(x)\cdot\int f(y)\,dy}$

$\displaystyle{\int_0^{\pi}x\cdot\int_0^{\pi}\sin(y)\,dy\,dx}$

Calcule a integral da função seno, sabendo que $\displaystyle{\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C}$

$\displaystyle{\int_0^{\pi}x\cdot(-\cos(y))~\biggr|_0^{\pi}\,dx}$

Aplique os limites de integração de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

$\displaystyle{\int_0^{\pi}x\cdot(-\cos(\pi)-(-\cos(0)))\,dx}$

Sabendo que $\cos(\pi)=-1$ e $\cos(0)=1$, temos:

$\displaystyle{\int_0^{\pi}x\cdot(-(-1)-(-1))\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{\pi}x\cdot(1+1)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{\pi}2x\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi}x\,dx}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$

$2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^{\pi}\\\\\\ 2\cdot \dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^{\pi}\\\\\\ x^2~\biggr|_0^{\pi}$

Aplique os limites de integração

$(\pi)^2-(0)^2$

Calcule as potências e some os valores

${\pi}^2~\bold{u.~v}$

Este é o resultado desta integral.