Question

calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada ∫ ∫xydA, onde R é a região limitada pelas retas 2x-y=1, 2x-y=-3, 3x+y=1 e 3x+y=-2

Answer 1

Primeira coisa que vamos fazer eh definir duas dessas retas para virarem os eixos u e v:

Se vc colocar as retas num grafico vc vai ver pq escolhi 3x+y=-2 e 2x-y=-3.
Mas se vc nao escolher nada mto discrepante nao importa mto quais vc escolhe.

Sei que os eixos u (horizontal) e v (vertical) tem equacoes:
v=0 e u=0
Sei que as equacoes que escolhi sao 3x+y+2=0 e 2x-y+3=0
Como ambos estao igualados a 0 posso igualar um ao outro:

3x+y+2=v
2x-y+3=u

Agora que tenho um sistema posso resolver para x e y em termos de u e v.
Resolvendo temos:

x=(u+v-5)/5
y=(2v-3u+5)/5

Agora tiramos o Jacobian com a seguinte formula:

$J(u,v)= \left|\begin{array}{cc}\frac{\delta x}{\delta u}&\frac{\delta x}{\delta v}\\ & \\\frac{\delta y}{\delta u}&\frac{\delta y}{\delta v}\end{array}\right|= \left|\begin{array}{cc}\frac15&\frac15\\ & \\-\frac35&\frac25\end{array}\right|=\dfrac15$

E por ultimo encontramos nossos novos limites, substituimos x e y a serem integrados por suas funcoes de u e v, e multiplicamos pelo jacobian.

2x-y=1 vira u=4
3x+y=1 vira v=3

Entao nossos novos limites sao: 

0<u<4
0<v<3

E agora resolvemos:

$\int_R { \int {xy} \, dx } \, dy =\\\\ \int\limits^3_0 { \int\limits^4_0 {xyJ} \, du } \, dv =\\\\\int\limits^3_0 { \int\limits^4_0 {\left(\dfrac{u+v-5}{5}\right)\left(\dfrac{2v-3u+5}{5}\right)\dfrac15} \, du } \, dv =\\\\\\\int\limits^3_0 { \int\limits^4_0 {\dfrac{1}{125}\left(-3 u^2 - u v + 20 u + 2 v^2 - 5 v - 25\right)} \, du } \, dv$