Question

Calcule a integral definida envolvendo valor absoluto.

$\int\limits^2_0 {|2x-1|} \, dx$ (módulo de 2x-1)

Answer 1

Olá

$\displaystyle \int\limits^2_0 {|2x-1|} \, dx$


Temos uma integral de uma função modular, isso implicar que teremos dois gráficos, uma para função positiva, e a outra para função negativa.
Com isso teremos duas áreas para integrar.

Então, temos que encontrar o limite de integração da primeira área

2x-1 ≥ 0
2x ≥ 1
x ≥ 1/2

Então, a primeira área será de, 0 até 1/2.
Já a segunda será de 1/2 até 2.


Integrando

Para valores de x positivo (valor da segunda área)

(2x-1)

$\displaystyle \mathsf{ \int\limits^{ 2 }_{\frac{1}{2}} {(2x-1)} \, dx }\\\\\\=\mathsf{\left.\left(x^2-x\,\right)\right|_{\frac{1}{2}}^{ 2} }\\\\\\\\=\mathsf{\left.\left(2^2- 2 \,\right)~-~\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2- \frac{1}{2} \right)}$

$\displaystyle =2 + \frac{1}{4} \\\\\\=\mathsf{ \frac{9}{4}u.a }$




Para valores de x negativo (valor da primeira área)

-(2x-1)
(-2x + 1)     <-      função à ser integrada

$\displaystyle \mathsf{ \int\limits^{ \frac{1}{2} }_0 {(-2x+1)} \, dx }\\\\\\=\mathsf{\left.\left(-x^2+x\,\right)\right|_{0}^{ \frac{1}{2}} }\\\\\\\\=\mathsf{\left.\left(-\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \,\right)~-~0}$

$\displaystyle =\mathsf{ -\frac{1}{4}+ \frac{1}{2} }\\\\\\\mathsf{= \frac{1}{4} ~u.a}$



Área total é = Área 1 + Área 2

$\displaystyle \mathsf{A_{total}= \frac{1}{4} + \frac{9}{4}} \\\\\\\\\boxed{\mathsf{A_{total}= \frac{5}{2}~u.a }}$

Gráfico em anexo para facilitar o entendimento.


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