Question

Calcule a Integral abaixo desenvolvendo o método das "Frações parciais".

Answer 1

$\displaystyle\int \dfrac{3x}{x^2+x-2}\,dx$

Temos a seguinte função racional:

$f(x)=\dfrac{3x}{x^2+x-2}=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$
onde

$P(x)=3x~\text{ e }~Q(x)=x^2+x-2$

Ora, o grau do polinômio numerador já é menor do que o polinômio do denominador.

$\bullet\;\;$ Fatorando o denominador como produtos de polinômios de grau 1:

$Q(x)=x^2+x-2\\\\ =x^2+2x-x-2\\\\ =x\,(x+2)-1\,(x+2)\\\\ =(x+2)\,(x-1)$

Portanto, a função fica

$f(x)=\dfrac{3x}{(x+2)\,(x-1)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-1}\\\\\\ \dfrac{3x}{(x+2)\,(x-1)}=\dfrac{A\,(x-1)+B\,(x+2)}{(x+2)\,(x-1)}\\\\\\ 3x=A\,(x-1)+B\,(x+2)\\\\ 3x=Ax-A+Bx+2B\\\\ 3x=(A+B)\,x+(-A+2B)$

Por identidade polinomial, devemos ter

$\left\{\! \begin{array}{l} A+B=3\\\\ -A+2B=0 \end{array} \right.$

Resolvendo o sistema acima, encontramos

$A=2~\text{ e }~B=1$

Dessa forma,

$\boxed{\begin{array}{c}f(x)=\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{1}{x-1} \end{array}}$
__________________________

Então, a nossa integral fica

$\displaystyle\int \!\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{1}{x-1} \right)dx\\\\\\ =\int \!\dfrac{2}{x+2}\,dx+\int\!\dfrac{1}{x-1}\,dx\\\\\\ =2\,\mathrm{\ell n}|x+2|+\mathrm{\ell n}|x-1|+C$