Question

CALCULE A INTEGRAL ABAIXO DESENVOLVENDO O MÉTODO DAS "FRAÇÕES PARCIAIS" ∫ 3x/x^2+x-2xdx, DADO QUE ∫ f(x)'/f(x)=ln[f(x)]+C

Answer 1

$\displaystyle\mathsf{I=\int{\frac{3x}{x^{2}+x-2}\,dx}}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Tomemos a seguinte função:

$\mathsf{g(x)=\dfrac{3x}{x^{2}+x-2}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{3x}{x^{2}+2x-x-2}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{3x}{x(x+2)-1(x+2)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{3x}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-1}}~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Em $\mathbf{(ii)},$ multiplicando os dois lados por $\mathsf{(x+2)(x-1),}$ chegamos a

$\mathsf{3x=A(x-1)+B(x+2)}\\\\ \mathsf{3x=(A+B)x-A+2B}~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Por $\mathbf{(iii)},$ tiramos que

$\left\{\!\!\! \begin{array}{ccc} \mathsf{A+B}&\!\!=\!\!&\mathsf{3}\\\\ \mathsf{-A+2B}&\!\!=\!\!&\mathsf{0} \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos

$\mathsf{A=2~~e~~B=1.}$


Substituindo os valores encontrados em $\mathbf{(ii)},$ temos que

$\mathsf{g(x)=\dfrac{3x}{x^{2}+x-2}=\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{1}{x-1}}$


E dessa forma, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$\displaystyle\mathsf{I=\int{\frac{3x}{x^{2}+x-2}\,dx}}\\\\\\ \mathsf{=\int{\!\!\left(\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x-1} \right )dx}}\\\\\\ \mathsf{=\int{\frac{2}{x+2}\,dx}+\int{\frac{1}{x-1}\,dx}}\\\\\\ \mathsf{=2\int{\frac{1}{x+2}\,dx}+\int{\frac{1}{x-1}\,dx}}\\\\\\ \mathsf{=2\,\ell n\,|x+2|+\ell n\,|x-1|+C}$