Question

Calcule a integral ∫ 2 x + 1 x 2 − 7 x + 12 d x

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{9\cdot\ln|x-4|-7\cdot\ln|x-3|+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos resolver a integral $\displaystyle{\int \dfrac{2x+1}{x^2-7x+12}\,dx}$.

Para isso, utilizaremos frações parciais. Considere reescrever esta fração como a soma de duas outras frações e encontrar separadamente suas integrais.

Para tanto, devemos encontrar as raízes do polinômio no numerador, utilizando a fórmula resolutiva:

$x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-48}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2}$

Calcule a raiz

$x=\dfrac{7\pm1}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{7-1}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{7+1}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{6}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{8}{2}$

Simplifique as frações

$x=3~~~\mathtt{ou}~~~x=4$

Dessa forma, reescrevendo este polinômio na forma canônica $a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$, tal que $x_1$ e $x_2$ são suas raízes, teremos a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{2x+1}{(x-3)\cdot(x-4)}\,dx}$

Então, para o método das frações parciais, teremos a seguinte equação:

$\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x-4}=\dfrac{2x+1}{(x-3)\cdot(x-4)}$

Multiplicando ambos os lados da equação por $(x-3)\cdot(x-4)$, teremos

$A\cdot(x-4)+B\cdot(x-3)=2x+1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$Ax-4A+Bx-3B=2x+1$

Some os termos semelhantes

$(A+B)x-4A-3B=2x+1$

Então, comparamos os coeficientes. Teremos o seguinte sistema:

$\begin{cases}A+B=2\\-4A-3B=1\\\end{cases}$

Multiplique a primeira equação por $4$

$\begin{cases}4A+4B=8\\-4A-3B=1\\\end{cases}$

Some as equações

$4A+4B-4A-3B=9\\\\\\ B=9$

Substituindo este valor em qualquer uma das equações, obteremos

$A+9=2$

Subtraia $9$ em ambos os lados da equação

$A=2-9\\\\\\ A=-7$

Então, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int -\dfrac{7}{x-3}+\dfrac{9}{x-4}\,dx$

Lembre-se que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, logo

$\displaystyle{\int -\dfrac{7}{x-3}\,dx+\int\dfrac{9}{x-4}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx =a\cdot \int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{-7\cdot\int \dfrac{1}{x-3}\,dx+9\cdot\int\dfrac{1}{x-4}\,dx$

Fazemos uma substituição nas integrais: na primeira, teremos $u=x-3$ e na segunda $v=x-4$.

Derivamos as expressões em $u$ e $v$ para encontrarmos seus respectivos diferenciais:

$u'=(x-3)'\Rightarrow~du=dx\\\\\\ v'=(x-4)'\Rightarrow~dv=dx$

Logo, nossas integrais se tornam:

$\displaystyle{-7\cdot\int \dfrac{1}{u}\,du+9\cdot\int\dfrac{1}{v}\,dv$

Lembre-se que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|$, logo

$\displaystyle{-7\cdot\ln|u|+9\cdot\ln|v|$

Desfaça as substituições

$\displaystyle{-7\cdot\ln|x-3|+9\cdot\ln|x-4|$

Reorganize a soma e adiciona a constante de integração

$9\cdot\ln|x-4|-7\cdot\ln|x-3|+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.