Question

Calcule a integral ∫(1/5- 2/x^3 + 2 x ) dx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{x}{5}+\dfrac{1}{x^2}+x^{2}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos esta integral, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{x^3}+2x\right)\,dx$

Podemos transformar a integral desta soma em uma soma de integrais:

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{5}\,dx-\int\dfrac{2}{x^3}\,dx+\int2x\right)\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.

Aplique a propriedade da constante.

$\displaystyle{\dfrac{1}{5}\cdot\int\,dx-2\cdot\int\dfrac{1}{x^3}\,dx+2\cdot\int x\right)\,dx$

Aplique a propriedade da potência, lembrando que $\displaystyle{\int \,dx=\int 1\,dx=\int x^0\,dx$ e que  $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$

$\dfrac{1}{5}\cdot (x+C_1)-2\cdot\left(\dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}+C_2\right)+2\cdot\left(\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C_3\right)$

Some os valores

$\dfrac{1}{5}\cdot (x+C_1)-2\cdot\left(\dfrac{x^{-2}}{-2}+C_2\right)+2\cdot\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C_3\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{x}{5}+\dfrac{C_1}{5}+\dfrac{1}{x^2}+2C_2+x^{2}+2C_3$

Considere $\dfrac{C_1}{5}+2C_2+2C_3=C$

$\dfrac{x}{5}+\dfrac{1}{x^2}+x^{2}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

Olá, boa tarde ☺

Resolução:

$\int \left( \dfrac{1}{5}- \dfrac{2}{x^3} +2x \right) dx$

$\dfrac{1}{5} \int \ dx - 2 \int \dfrac{1}{x^3} \ dx + 2\int x \ dx \\ \\ \\ \dfrac{x}{5} - \dfrac{1}{x^2} + x^2 +c$

Bons estudos :)