Question

Calcule a expressão :

$1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + ...$

Answer 1

Questãozinha legal do ITA...


Perceba que podemos fragmentar os termos:


1 = 1

2/2 = 1/2 + 1/2

3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4

4/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8

5/16 = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16


...

Aplicando a soma de uma P.G infinita:

S = 1/(1 – ½) + (1/2)/(1 – ½) + (1/4)/(1 – ½) =

(1 + ½ + 1/4 + 1/8 + ...)/(1/2) =

[1/(1 – ½)]/(1/2) =

[1/(1/2)]/(1/2) =

2.2 =

= 4

Answer 2

Aparentemente temos 2 Progressões combinadas na expressão dada:

 

- Uma P.A de razão “1” no numerador

- Uma P.G de razão (1/2) no denominador

 

 Mas repare que temos 2 “pistas” importantes para a resolução deste problema:

 

..os dois primeiros termos são 1 e 2/2 …o que aparentemente seria o mesmo valor

..então ou 2/2 NÃO É igual a “1” …ou 1 NÃO É igual a “1” 

 

Considerando o 1º termo como “1” vamos decompor a progressão como o já efetuado pelo “Marcelommelo”:

 

1 = 1 . 1

 

2/2 = 2 . 1/2

 

3/4 = 3 . 1/4

 

4/8 = 4 . 1/8

 

5/16 = 5 . 1/16

 Assim observamos que no denominador se repete (como elemento multiplicador) a PA do numerador …pelo que podemos então considerar (por simplificação) que a progressão será:

 

1 +  1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 …..

 

…note que q < 1 ..logo a Progressão é convergente e a sua formula será

 

Sn = a1/(1 – q)

 

 Mas tenha em atenção que a expressão dada tem indicado como “primeiro termo” o valor de “1” e também já referi em cima que 1 NÃO É igual a “1”. Vamos ver porquê:

 

..se a razão é = 1/2 então (a1) = 1/(1/2) = 2

 

…o mesmo se aplicando aos restantes termos da progressão que será na realidade

 

2, 1, (1/2), (1/4), (1/8)….

 

E pronto já podemos aplicar agora a fórmula da PG..   

 

Sn = a1/(1 – q)

 

Sn = 2/(1 – 1/2)

 

Sn = 4

 

 

Espero ter ajudado