Question

Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 1/x^3 no ponto de abscissa x_0 = 1

Answer 1

Temos o seguinte:
$f(x) = \frac{1}{x^3}$
Uma equação de reta, possui a forma:
$y= ax + b$
Precisamos encontrar ao coeficiente angular no ponto $x =1$:
$f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} \\ \\ a = f'(x) = -3 \cdot x^{-3 - 1 } = -3 \cdot x^{-4} = - \frac{3}{x^4} \\ \\ f'(1) = -\frac{3}{1^4} = -3$
Logo temos:
$y = ax + b \\ \\ y = -3x + b$
Para encontrarmos o coeficiente linear, precisamos encontrar a imagem de $x=1$:
$f(x) = \frac{1}{x^3} \\ \\ f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$
Logo temos:
$y = -3x + b \\ \\ 1 = -3 \cdot 1 + b \\ \\ 1 = -3 + b \\ \\ b = 4$
Logo:
$y = -3x + 4$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função polinomial passando pelo referido ponto de tangência é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -3x + 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                $\Large\begin{cases} f(x) = \dfrac{1}{x^{3}} = x^{-3}\\x_{T} = 1\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função, passando pelo ponto de tangência "T", podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - \frac{1}{1^{3}} = \left[-3\cdot1^{-3 - 1}\right]\cdot(x - 1)\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \frac{1}{1} = \left[-3\cdot1^{-4}\right]\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = -3\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 1 = -3x + 3\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -3x + 3+ 1\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -3x + 4\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = -3x + 4\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$