Question

Calcule a EDO abaixo e verifique se ele e exata, caso não seja transforme em exata e faça os respectivos calculos.

Obs Explicar Passo a passo por gentileza.

$(2x-y-1)dx-(x+3y-2)dy=0$

Answer 1

Olá Daphinne, boa noite!

 Inicialmente, considere a equação

$\displaystyle \mathbf{M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0}$

 A equação diferencial será exata se

$\displaystyle \mathbf{\frac{\partial\,M}{\partial\,y}=\frac{\partial\,N}{\partial\,x}}$

 
  Isto posto, de acordo com o enunciado proposto, temos:

$\displaystyle \mathbf{M=2x-y-1}$ e $\mathbf{N=-x-3y+2}$.

 Derivando,

$\displaystyle \\ \bullet \quad \mathsf{\frac{\partial M}{\partial y} = - 1} \\\\\\ \bullet \quad \mathsf{\frac{\partial N}{\partial x} = - 1}$

 Portanto, é EXATA!

 Para solucionar essa EDO, procedemos do seguinte modo:

- integramos M em relação à variável x;
- derivamos a função encontrada em relação à variável y;
- comparamos a derivada acima com N;
- obtemos g'(y) e depois integramos;
- a solução é dada por f(x, y) = c.

 Veja:

$\displaystyle \\ \mathsf{\frac{\partial f}{\partial x} = M = 2x - y - 1} \\\\\\ \mathsf{\int \frac{\partial f}{\partial x} = \int 2x - y - 1 \ dx} \\\\\\ \mathsf{f(x, y) = x^2 - xy - x + g(y)}$

 Derivando a f(x, y) em relação à "y",

$\displaystyle \\ \mathsf{f(x, y) = x^2 - xy - x + g(y)} \\\\ \mathsf{\frac{\partial f}{\partial y} = - x + g'(y)} \\\\\\ \mathsf{\frac{\partial f}{\partial y} = N = - x + g'(y)}$ 
 
 Comparando,

$\displaystyle \\ \mathsf{\frac{\partial f}{\partial y} = N = - x + g'(y)} \\\\ \mathsf{- x - 3y + 2 = - x + g'(y)} \\\\ \mathsf{g'(y) = - 3y + 2} \\\\ \mathsf{g(y) = - \frac{3y^2}{2} + 2y + c'}$

 Por fim,

$\displaystyle \\ \mathsf{f(x, y) = c} \\\\ \mathsf{x^2 - xy - x + g(y) = c} \\\\ \mathsf{x^2 - xy - x - \frac{3y^2}{2} + 2y + c' = c} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x^2 - xy - x - \frac{3y^2}{2} + 2y + C = 0}}}$