Question

calcule a distância focal e a excentricidade da elipse 25x²-169x²=42255

Answer 1

A equação correta desta questão é: 25x² + 169y² = 4225.

A equação geral da elipse tem a forma:
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1$

O primeiro passo é transformar nossa elipse para esta equação. Como 4225 é o produto de 169 e 25, podemos dividir ambos os membros da equação por ele:
$\dfrac{25x^2}{4225} + \dfrac{169y^2}{4225} = \dfrac{4225}{4225} \\ \\ \dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{25} = 1$

Assim temos que:
a² = 169 >>> a = 13
b² = 25 >>> b = 5

Esta elipse tem os focos no eixo x, pois a > b.
Sendo assim a distância entre a origem e um dos focos vale c.
A distância entre os pontos do menor eixo da elipse vale 2b, então a distância entre a origem e um destes pontos é b.
A distância entre um dos pontos do menor eixo da elipse e um dos focos vale a.

Temos assim um triângulo retângulo, onde a é a hipotenusa. Podemos calcular c utilizando o Teorema de Pitágoras:
c² = a² - b²
c² = 169 - 25
c² = 144
c = 12

A distância focal vale 2c, então:
2c = 2*12 = 24

A excentricidade é o quociente entre c e a:
e = c/a = 12/13