Question

Calcule a distância entre os pontos A e B

a) A (6,-3) e B (6,5)
b) A (6,7) e B (9,11)
c) A (-3,5) e B (3,13)
d) A (-1,3) e B (1,-1)

Answer 1

Vamos entender de onde vem a seguinte fórmula para distância entre pontos:

Dados dois pontos A e B tais que

$A = (x_A,\: y_A)\\B = (x_B, \:y_B)$

Imagine que estes dois pontos pertençam ao plano cartesiano e que os valores de x e y estejam correspondidos nos eixos que o plano contém. Marque com um segmento de reta e ligue o ponto A com o valor de xA respectivo no eixo x e o valor de yA no eixo y, faça o mesmo com o ponto B, e por último ligue o ponto A com o ponto B (marcado em vermelho), você encontrará uma figura igual a da imagem anexada. Perceba que possuímos um triângulo retângulo se formando com catetos iguais a diferença entre x e y e a hipotenusa é nossa distância entre os pontos.

Por notação chamamos a diferença entre valores em x e y de Δx e Δy em que:

$\Delta x = |x_A-x_B|$

$\Delta y = |y_A-y_B|$

O módulo é dado pois não sabemos a priori se xA ou xB é maior, e distância nunca pode ser negativa.

Assim, como temos um triângulo retângulo, podemos aplicar pitágoras:

$d^2 = (\Delta y)^2+(\Delta x)^2$

$d = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$

O que dá a hipotenusa do nosso triângulo, que é a distância entre os pontos.

Sabendo disso faremos o exercício:

a) A = (6,-3) e B = (6,5)

Calcularemos os Deltas antes:

$\Delta x = |x_A-x_B| = |6-6| = 0$

$\Delta y = |y_A-y_B| = |-3-5| = 8$

$\therefore d = \sqrt{0^2+8^2} = \sqrt{8^2} = 8$

A distância de A até B é igual a 8 unidades.

b) A = (6,-7) e B = (9,11)

Calcularemos os Deltas antes:

$\Delta x = |x_A-x_B| = |9-6| = 3$

$\Delta y = |y_A-y_B| = |11-7| = 4$

$\therefore d = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}= 5$

A distância de A até B é igual a 5 unidades.

c) A = (-3,5) e B = (3,13)

Calcularemos os Deltas antes:

$\Delta x = |x_A-x_B| = |-3-3| = 6$

$\Delta y = |y_A-y_B| = |5-13| = 8$

$\therefore d = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}= 10$

A distância de A até B é igual a 10 unidades.

d) A = (-1,3) e B = (1,-1)

Calcularemos os Deltas antes:

$\Delta x = |x_A-x_B| = |-1-1| = 2$

$\Delta y = |y_A-y_B| = |3-(-1)| = 4$

$\therefore d = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$

A distância de A até B é igual a √20 unidades.

Answer 2

Resposta:

Calcule a distˆancia entre A(−7, 6) e B(5, −3).

Explicação passo-a-passo: