Question

calcule a distancia entre o centro da circunferencia x²+y²+5x-7y-1=0 e a reta 2x+2y=3

Answer 1

Olá!

Para encontrar o centro C da circunferência, vamos completar quadrados na expressão:

x²+y²+5x-7y-1 = 0 -> Podemos reescrever como sendo:
x²+5x+y²-7y-1 = 0 -> O que fizermos no 1º membro, devemos, necessariamente, fazer no 2º membro. Logo:
x²+5x+10/4+y²-7y+49/4 - 1 = 10/4+49/4 -> Somando esses termos, temos dois produtos notáveis da forma: (a+b)² e (a-b)². Daí:
(x+5/2)²+(y-7/2)² = 59/4 -> Daí, vem que as coordenadas do centro são:

C(-5/2,7/2) 

Sobre a reta (r) 2x+2y = 3, reescrevemos como (r) = 2x+2y-3 = 0 -> em que: a = 2 ; b = 2 e c = -3

Temos, por definição, a distância de um ponto à uma reta, definido por:
d(C,r) = |a.x₀+b.y₀+c| / √a²+b² -> Substituindo os valores, vem:
d(C,r) = |2.(-5/2)+2.7/2-3| / √4+4 -> Resolvendo:
d(C,r) = |-5+7-3| / √8 
d(C,r) = |-1| / 2√2
d(C,r) = 1/2√2 -> Racionalizando:
d(C,r) = 1/2√2 . (√2/√2) = √2/2.2 = √2/4

Espero ter ajudado! :)