Question

calcule a determinante:
D = [3 1 -2 1]
[5 2 2 3]
[7 4 -5 0]
[1 -1 11 2]

a) 100 b) 90 c) 108 d) 78
e) 98​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vamos resolver esse DETERMINANTE através da regra a de Chió, pois é mais viável para determinantes (4x4).

$\begin{bmatrix}3&1& - 2&1 \\ 5&2&2&3 \\ 7&4& - 5&0 \\ 1& - 1&11&2\end{bmatrix}$

Regra de Chió:

A regra de Chió nos fala para escolher um elemento desse determinante que seja um número "1". Sabendo disso vamos escolher o número "1" que se encontra na posição a12, após fazer a escolha você deve eliminar a linha e coluna onde esse elemento se encontra.

Eliminando:

$\begin{bmatrix} \cancel3& \cancel1& \cancel - 2& \cancel1 \\ 5& \cancel2&2&3 \\ 7& \cancel4& - 5&0 \\ 1& \cancel - 1&11&2\end{bmatrix}$

Note que com essa eliminação surge um DETERMINANTE 3x3, mas não podemos resolvê-lo nesse momento, pois a regra fala que devemos primeiro subtrair dos elementos das margens desse DETERMINANTE pelo produto dos elementos eliminados.

Fazendo isso:

$\begin{bmatrix}5 - 3.2&2 - 2.( - 2)&3 - 2.1 \\ 7 - 3.4& - 5 - 4.( - 2)&0 - 4.1 \\ 1 - 3.( - 1)&11 - 1.( - 2)&2 -1.( - 1) \\ \\ \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}5 - 6&2 + 4&3 -2\\ 7 - 12& - 5 + 8&0 - 4 \\ 1 + 3&11 + 2&2 + 1\\ \\ \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} - 1&6& 1 \\ - 5& 3& - 4 \\ 4&13&3 \end{bmatrix}$

Agora sim podemos resolver o DETERMINANTE (3x3) através do método de Sarrus:

$\begin{bmatrix} - 1&6& 1 \\ - 5& 3& - 4 \\ 4&13&3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} - 1&6 \\ - 5& 3\\ 4&13 \end{bmatrix} \\ \\ d = ( - 1).3.3 + 6.( - 4).4 + 1.( - 5).13 - (4.3.1 + 13.( - 4).( - 1) + 3.( - 5).6) \\ d = - 9- 96 - 65 - ( - 24 + 52 - 90) \\ d = - 170 - ( - 62) \\ d = - 170 + 62 \\ \boxed{ d = - 108}$

Por fim vamos substituir na fórmula da regra de Chió:

$\Large\boxed{D = ( - 1) {}^{i + j} .d}$

Os elementos i e j representam a posição do número 1 que escolhemos no começo da questão, ou seja, a12 → i = 1, j = 2.

Substituindo:

$D = ( - 1) {}^{2 + 1} .( - 108) \\ D = ( - 1) {}^{3} .( - 108) \\ D = ( - 1).( - 108) \\ \boxed{D = 108}$

Letra c)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️