Question

Calcule a derivada pela definição de f(x)=x^2-4x+4

Answer 1

Olá

Limite por definição

$\displaystyle \lim_{h \to 0} ~ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$


Para ficar mais fácil os cálculos, vamos fatorar a função f(x)

$\mathsf{f(x)=x^2-4x+4}\\\\\text{Podemos fatorar da seguinte forma}\\\\\mathsf{x^2-4x+4~=~(x-a)\cdot(x+a)}\\\\\text{Sendo 'a' e 'b' as raizes da funcao, que voce pode encontrar facilmente }\\\text{por bhaskara}\\\\\text{Fazendo por bhaskara, encontrar as raizes}\\\\\mathsf{x=-2 ~~~~e~~~\x=2}~\\\text{Entao a forma fatorada ficara}\\\\\mathsf{(x+2)\cdot (x-2)}\\\\\text{Acima temos um produto notavel, que podemos reescrever como}\\\\\mathsf{(x+2)\cdot (x-2)}~=~\boxed{(x-2)^2}$

Vamos usar essa expressão fatorada que encontramos para fazermos a derivada pela definição.

$\displaystyle \lim_{h \to 0} ~ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~ \frac{(x-2+h)^2-(x-2)^2}{h}\\\\\\\text{Desenvolve os quadrados}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~ \frac{-4x+2xh+x^2-4h+h^2+4-x^2+4x-4}{h}\\\\\\\text{Faz a simplifica}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~ \frac{-\diagup\!\!\!\!\!4x+2xh+\diagup\!\!\!\!\!x^2-4h+h^2+\diagup\!\!\!\!4-\diagup\!\!\!\!\!x^2+\diagup\!\!\!\!\!\!4x-\diagup\!\!\!\!4}{h}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~ \frac{h^2+2xh-4h}{h}\\\\\\\text{Poe o 'h' em evidencia}$

$\displaystyle\lim_{h \to 0} ~ \frac{h(h+2x-4)}{h}\\\\\\\text{Simplifica}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~ \frac{\diagup\!\!\!\!h(h+2x-4)}{\diagup\!\!\!\!h}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~(h+2x-4)\\\\\\\text{Resolvendo o limite}\\\\\\\lim_{h \to 0} ~(h+2x-4)~=~0+2x-4~=~\boxed{\boxed{2x-4}}$


Você pode confirmar, derivando normalmente.

$\mathsf{f(x)=x^2-4x+4}\\\\\boxed{\mathsf{f'(x)=2x-4}}$