Question

Calcule a derivada :

f(x) = x² / 2x + 1

Answer 1

Vamos escrever f(x), como o produto de duas funções também dependentes de x:

f(x) = u(x).g(x), onde

$u(x) = {1\over {2x + 1}} = (2x + 1)^{-1},\ e\ g(x) = x^2$.

A derivada de f(x), pode ser escrita como sendo:

$df(x) = {du\over dx}g(x) + {dg\over dx}u(x)$.

Calculando $du\over dx$:
${du\over dx} = {d[(2x + 1)^{-1}]\over dx} = -2(2x + 1)^{-2}$.

Calculando $dg\over dx$:

${dg\over dx} = {d(x^2)\over dx} = 2x$.

Então, substituindo dg/dx, du/dx, u(x) e g(x) em f(x):

$df(x) = -2(2x + 1)^{-2}\cdot x^2 + 2x\cdot (2x + 1)^{-1}$.

Fatorando 2x(2x + 1)^(-1):

$df(x) = 2x(2x + 1)^{-1}\cdot[1 - x(2x + 1)^{-1}]\\\\df(x) = {2x\over 2x + 1}\cdot \left(1 - {x\over 2x + 1} \right)$.

Se não errei, em algum passo, essa é a resposta.