Question

Calcule a derivada do quociente: f(r) = 3r / (5r +2)

Answer 1

Para calcular a derivada do quociente, existe uma regrinha preestabelecida, dada por:

$\boxed{ \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \dfrac{f '.g - f.g '}{g {}^{2} }}$

Essa expressão nos diz que devemos multiplicar a derivada da função (f) vezes a função g sem derivar, subtrair a multiplicação da função (f) sem derivar pela função (g) derivando e dividir pela função (g) ao quadrado.

Temos que:

$\sf f(r) = \frac{3r}{(5r + 2)} \rightarrow \begin{cases} \sf f = 3r \\ \sf g = 5r + 2 \end{cases}$

Substituindo na regra:

$\sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \dfrac{f '.g - f.g '}{g {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{(3r)' .(5r + 2) - (3r).(5r + 2)'}{(5r + 2) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{(1.3.r {}^{1 - 1} ).(5r + 2) - (3r).(1.5.r {}^{ 1 - 1} }{(5r + 2) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{(3.r {}^{0} ).(5r + 2) - (3r).(5.r {}^{0}) }{(5r + 2) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{(3.1).(5r + 2) - (3r).(5.1)}{(5r + 2) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{3.(5r + 2) - (3r).5}{(5r + 2) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{ \cancel{15r }+ 6 \cancel{- 15r}}{(5r + 2) {}^{2} } \\ \\ \boxed{ \sf \sf \left( \dfrac{f}{g} \right) '= \frac{6}{(5r + 2) {}^{2} } }$

Espero ter ajudado