Question

Calcule a derivada de f(x) = $\frac{a^{3x}}{b^{3x^2-6x} }$

Obs: A resposta é $\frac{3(lna)a^{3x}-a^{3x} (6x-6)lnb}{b^{3x^2-6x} }$, eu só preciso entender como eu chego nela.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$

$\sf f(x)=\dfrac{a^{3x}}{b^{3x^2-6x}}$

$\sf f'(x)=\dfrac{(a^{3x})'\cdot b^{3x^2-6x}-a^{3x}\cdot(b^{3x^2-6x})'}{(b^{3x^2-6x})^2}$

Temos que:

$\sf \bullet~~(a^{3x})'=(3x)'\cdot a^{3x}\cdot ln~a$

$\sf (a^{3x})'=3\cdot a^{3x}\cdot ln~a$

$\sf \bullet~~(b^{3x^2-6x})'=(3x^2-6x)'\cdot b^{3x^2-6x}\cdot ln~b$

$\sf (b^{3x^2-6x})'=(6x-6)\cdot b^{3x^2-6x}\cdot ln~b$

Assim:

$\sf f'(x)=\dfrac{3\cdot a^{3x}\cdot ln~a\cdot b^{3x^2-6x}-a^{3x}\cdot(6x-6)\cdot b^{3x^2-6x}\cdot ln~b}{(b^{3x^2-6x})^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{b^{3x^2-6x}\cdot[3\cdot ln~a\cdot a^{3x}-a^{3x}\cdot(6x-6)\cdot ln~b]}{b^{3x^2-6x}\cdot b^{3x^2-6x}}$

$\sf f'(x)=\dfrac{3\cdot ln~a\cdot a^{3x}-a^{3x}\cdot(6x-6)\cdot ln~b}{b^{3x^2-6x}}$