Question

Calcule a derivada de f(x)=ln(cos(x3)) no ponto 2,5.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf f(x) = ln(cos(x {}^{3} )) \: \: \bullet$

Para derivarmos esta função, devemos lembrar da regra da cadeia, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}$

Esta expressão é usada pelo motivo de que temos uma função composta. Para iniciar a aplicação deste método, devemos nomear as funções, para facilitar o processo:

$\sf f(x) = y = ln(u) \: \: e \: \: u = cos(x {}^{3} )$

Substituindo na expressão da regra:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}( ln(u)). \frac{d}{dx} (cos(x {}^{3} ))$

Como sabemos, a derivada do logarítmo natural é basicamente 1/x, então:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u}. \frac{d}{dx} (cos(x {}^{3} ))$

Note que esta função que está para ser derivada também é composta, portanto, devemos aplicar a regra da cadeia mais uma vez. Nomeando as funções desta outra expressão:

$\sf r = cos(t) \: \: e \: \: t = x {}^{3}$

Aplicando na expressão:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} . \frac{d}{dt} ( cos(t)). \frac{d}{dx}(x {}^{3} ) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} .( - sen(t)).(3x {}^{2} ) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = - \frac{3sen(t).x {}^{2} }{u}$

Repondo as funções que representam u e t:

$\sf \frac{dy}{dx} = - \frac{3sen(x {}^{3} ).x {}^{2} }{cos(x {}^{3}) } \: \: ou \: \: - 3tan(x {}^{3} ).x {}^{2}$

Para fazer a aplicação no ponto x = 2,5, basta substituir este valor no local de x.

Espero ter ajudado